9. Lukujärjestelmät*

Voi­vat­ko lu­vut 110101 ja 53 olla yhtä suu­ria? Tie­ten­kään ei­vät, jos mo­lem­mat tul­ki­taan nor­maa­lis­ti käy­tet­tä­vän kym­men­jär­jes­tel­män lu­vuik­si. Ti­lan­ne on kui­ten­kin toi­nen, jos lu­vut edus­ta­vat­kin eri luku­jär­jes­tel­miä. Luku­jär­jes­tel­mät ni­me­tään nii­den kan­ta­lu­vun mu­kaan. Kan­ta­luku myös mää­rää, min­kä­lai­sis­ta nu­me­rois­ta ky­sei­sen luku­jär­jes­tel­män lu­vut voi­daan muo­dos­taa.

Kym­men- eli desi­maa­li­jär­jes­tel­mä on ylei­sin luku­jär­jes­tel­mä. Jär­jes­tel­män kan­ta­lu­ku­na on 10 ja sii­nä esiin­ty­vät nu­me­rot 0…9. Kym­men­jär­jes­tel­mäs­sä jo­kai­nen luku voi­daan kir­joit­taa kym­men­po­tens­sin avul­la. Kym­men­jär­jes­tel­mää mer­ki­tään las­ki­mis­sa ly­hen­teel­lä DEC.

Esimerkki 1.

Luku 374 voi­daan kir­joit­taa muo­dos­sa

3 · 100 + 7 · 10 + 4 · 1 eli 3 · 10² + 7 · 10¹ + 4 · 10⁰

Bi­nää­ri- eli kaksijärjestelmä (BIN) on ylei­ses­ti käy­tös­sä tie­to­tek­nii­kas­sa. Tie­to­ko­neet pys­ty­vät kä­sit­te­le­mään vain kah­ta eri ta­soa: jän­nit­tee­tön­tä tai jän­nit­teel­lis­tä ti­laa, joi­ta voi­daan ku­va­ta nu­me­roil­la 0 ja 1. Bi­nää­ri­jär­jes­tel­män kan­ta­lu­ku­na on 2 ja sen ai­no­at nu­me­rot ovat 0 ja 1. Bi­nää­ri­jär­jes­tel­mäs­sä jo­kai­nen luku voi­daan esit­tää lu­vun 2 po­tens­si­na. Nol­lan tai yk­kö­sen paik­ka ker­too kuin­ka suu­ri luku on ky­sees­sä.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Huom! Kos­ka kym­men­jär­jes­tel­mä on ylei­sin luku­jär­jes­tel­mä, ei sen lu­vuis­sa käy­te­tä yleen­sä ala­in­dek­siä.

Esimerkki 2.

Muu­te­taan bi­nää­ri­luku 101101 kym­men­jär­jes­tel­män lu­vuk­si.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: 101101₂ = 45₁₀.

Esimerkki 3.

Muu­te­taan kym­men­jär­jes­tel­män luku 83 bi­nää­ri­muo­toon.

• Ote­taan en­sik­si suu­rin sel­lai­nen kah­den po­tens­si, joka on ≤ 83. 2⁶ = 64 ≤ 83.
• Vä­hen­ne­tään tämä muu­tet­ta­vas­ta lu­vus­ta 83 – 64 = 19.
• Suu­rin kah­den po­tens­si, joka on ≤ 19, on 2⁴ = 16.
• Vä­hen­ne­tään tämä muu­tet­ta­vas­ta lu­vus­ta 19 – 16 = 3.
• Suu­rin kah­den po­tens­si, joka on ≤ 3, on 2¹ = 2.
• 3 – 2 = 1, jo­ten vii­mei­sek­si kah­den po­tens­sik­si tu­lee 2⁰ = 1.
• Po­tens­sien 2⁶, 2⁴, 2¹ ja 2⁰ pai­koil­le tu­lee bi­nää­ri­e­si­tyk­ses­sä luku 1 ja nii­den vä­liin jää­vil­le pai­koil­le tu­lee nol­la.
• Bi­nää­ri­luku on 1010011.

Vas­taus: 83₁₀ = 1010011₂