Kirjaimilla laskeminen

Ma­te­ma­tii­kas­sa kä­si­tel­lään usein yk­sit­täis­ten nu­me­ro­las­ku­jen si­jas­ta ylei­siä kir­jain­lau­sek­kei­ta. Esi­mer­kik­si pal­lon pin­ta-ala saa­daan las­ke­tuk­si kaa­val­la A = 4πr², jos­sa A on pal­lon pin­ta-ala ja r sen säde. Täl­lai­sil­le kaa­voil­le on tyy­pil­lis­tä yleis­pä­te­vyys: yh­tä­lö on aina tosi, si­joi­te­taan sii­hen kir­jain­ten pai­koil­le min­kä ta­han­sa pal­lon pin­ta-alan ja sä­teen mit­ta­lu­vut. Kun kaa­vas­sa esi­te­tään muut­tu­jia, voi­daan sitä käyt­tää yhä uu­des­taan ja uu­des­taan eri­ko­kois­ten pal­lo­jen pin­ta-alo­jen las­ke­mi­seen.

Ma­te­maat­ti­nen yh­tä­lö on kuin tasa­pai­no­vaa­ka. Yh­tä­lön va­sem­man puo­len lau­se­ke mer­kit­see yhtä suur­ta lu­kua kuin oi­ke­al­la ole­va lau­se­ke, ai­van ku­ten tasa­pai­nos­sa ole­van vaa’an va­sem­man ku­pin esi­nei­den mas­sa on yhtä suu­ri kuin oi­ke­an ku­pin esi­nei­den mas­sa. Oi­ke­as­ta eli to­des­ta yh­tä­lös­tä voi­daan useil­la ta­voil­la muo­dos­taa uu­sia to­sia yh­tä­löi­tä. Ai­van ku­ten vaa­ka säi­lyt­tää tasa­pai­non­sa, jos sen mo­lem­piin kup­pei­hin li­sä­tään sa­man­pai­noi­set kap­pa­leet. Vaa­ka säi­lyt­tää myös tasa­pai­non­sa mo­lem­min­puo­lis­ten yhtä suur­ten pois­to­jen jäl­keen. Ai­van sa­moin yh­tä­lön mo­lem­mat puo­let voi­daan esi­mer­kik­si ker­toa kah­del­la tai ja­kaa vii­del­lä ja yh­tä­lö en edel­leen tot­ta. Olet­ta­en tie­ten­kin, että ky­sees­sä oli alun al­ka­en tosi yh­tä­lö. Yh­tä­löä voi­daan myös muo­ka­ta eri muo­toi­hin. Esi­mer­kik­si pal­lon pin­ta-alan yh­tä­lös­tä voi­daan muo­dos­taa yh­tä­lö, jol­la las­ke­taan­kin pal­lon säde, kun tie­de­tään sen pin­ta-ala.

Al­geb­ra on ma­te­ma­tii­kan haa­ra, joka kä­sit­te­lee kir­jai­mil­la las­ke­mis­ta ja las­ku­toi­mi­tuk­sia kos­ke­via ylei­siä sään­tö­jä. Sen an­ta­mat tu­lok­set, yleis­pä­te­vät ma­te­maat­ti­set to­tuu­det, esi­te­tään usein lau­sek­kei­na tai kaa­voi­na, nämä ta­val­li­ses­ti yh­tä­löi­nä, jos­kus ns. epä­yh­tä­löi­nä. Al­geb­ran pe­rus­lau­seen esit­ti Carl Fried­rich Gauss vuon­na 1799. Sen mu­kaan al­geb­ral­li­sel­la yh­tä­löl­lä voi olla kor­kein­taan sen aste­lu­vun ver­ran rat­kai­su­ja.

Jo var­hai­set kreik­ka­lai­set ma­te­maa­ti­kot käyt­ti­vät kir­jai­mia edus­ta­mas­sa lu­ku­ja. Al­geb­ran nimi tu­lee ara­bi­an­kie­li­ses­tä sa­nas­ta al jabr, joka on al­ku­aan mer­kin­nyt suun­nil­leen sa­maa kuin ’mur­tu­nei­den lui­den pai­koil­leen aset­ta­mi­nen’. 1500-lu­vul­la opit­tiin al­geb­ran me­ne­tel­mät vä­hi­tel­len Eu­roo­pas­sa eri­tyi­ses­ti rans­ka­lai­sen Franciscus Vietan (1540-1603) an­si­os­ta. Rans­ka­lai­nen ma­te­maa­tik­ko ja fi­lo­so­fi René Des­car­tes (1596-1650) va­kiin­nut­ti käy­tän­nön, jon­ka mu­kaan tun­te­mat­to­mia tai muut­tu­via suu­rei­ta edus­ta­vat aak­kos­ten vii­mei­set kir­jai­met x, y ja z ja tun­ne­tuik­si ole­tet­tu­ja suu­rei­ta aak­kos­ten alku­pään kir­jai­met a, b ja c. Al­geb­raa osu­vas­ti ni­mi­te­tään usein ma­te­ma­tii­kan kie­lek­si, on­han sii­nä kir­jai­met nu­me­roi­den pai­kal­la.