2. Yhtälön ratkaiseminen

Moni­mut­kai­sem­pien yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­nen pel­käs­tään päät­te­le­mäl­lä on han­ka­laa, jo­ten on tar­peen ope­tel­la sys­te­maat­ti­nen yh­tä­löi­den rat­kai­su­tapa. Sii­nä yh­tä­lö muu­te­taan muo­toon, jos­sa va­sem­mal­la puo­lel­la esiin­tyy ai­no­as­taan muut­tu­ja ja oi­ke­al­la puo­lel­la on vain va­ki­o­ter­me­jä eli lu­ku­ja.

Kun yh­tä­löä rat­kais­taan, kir­joi­te­taan rat­kai­su­vai­heet al­lek­kain si­ten, että yh­tä­löi­den yhtä­suu­ruus­mer­kit ovat koh­dak­kain. Yhtä­suu­ruus­merk­kien koh­dal­le voi­daan ku­vi­tel­la sei­nä­mä, jon­ka toi­sel­la puo­lel­la ovat sal­lit­tu­ja ai­no­as­taan muut­tu­jat ja toi­sel­la puo­lel­la va­ki­ot. Ter­meil­lä on lupa siir­tyä sei­nä­män ohi ai­no­as­taan, jos ne vaih­ta­vat etu­merk­kiä. Tä­män pe­rus­tuu sii­hen, että vas­ta­lu­ku­jen ja vas­ta­ter­mien sum­ma on nol­la. Jos jo­kin ter­mi ha­lu­taan pois­taa yh­tä­lön toi­sel­ta puo­lel­ta, on sil­le puo­lel­le li­sät­tä­vä ky­sei­sen ter­min vas­ta­ter­mi. Tasa­pai­non säi­ly­mi­sek­si on sa­mai­nen vas­ta­ter­mi myös li­sät­tä­vä yh­tä­lön toi­sel­le puo­lel­le. Jos yh­tä­lön mo­lem­mil­la puo­lil­la on jos­sa­kin rat­kai­su­vai­hees­sa täs­mäl­leen sama ter­mi, ne ku­mo­a­vat toi­sen­sa ja ne voi­daan vä­lit­tö­mäs­ti pois­taa.

Kun muut­tu­jat ja va­ki­ot ovat omil­la puo­lil­laan sekä sa­man­muo­toi­set ter­mit yh­dis­tet­ty, on usein vie­lä pois­tet­ta­va muut­tu­jan ker­roin. Ker­to­las­kun kään­teis­toi­min­to on jako­las­ku, jo­ten ker­toi­mes­ta pääs­tään eroon ja­ka­mal­la yh­tä­lön mo­lem­mat puo­let ky­sei­sel­lä lu­vul­la. Esi­mer­kik­si mer­kin­tä yh­tä­lön pe­räs­sä tar­koit­taa, että yh­tä­lön mo­lem­mat puo­let ja­e­taan seu­raa­vak­si kah­del­la.

Saa­tu rat­kai­su on aina tar­kis­tet­ta­va. Tar­kis­tus ta­pah­tuu si­ten, että rat­kai­su si­joi­te­taan alku­pe­räi­seen yh­tä­löön. Las­ku­toi­mi­tuk­set suo­ri­te­taan erik­seen yhälön mo­lem­mil­la puo­lil­la. Ter­mien puo­lel­ta toi­sel­le siir­to­ja ei siis täs­sä vai­hees­sa enää teh­dä. Jos yh­tä­lön oi­ke­al­le ja va­sem­mal­le puo­lel­le tu­lee las­ku­toi­mi­tus­ten jäl­keen sama luku eli saa­daan tosi yh­tä­lö, on rat­kai­su oi­kea.

Esimerkki 1.

Rat­kais­taan yh­tä­lö x – 2 = 5.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 2.

Rat­kais­taan yh­tä­lö 7x +1 = 6x + 4.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 3.

Rat­kais­taan yh­tä­lö 5x + 1 = 2x – 2.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!