13. Kääntäen verrannollisuus

Kä­vel­len (no­peus 5 km/h) kun­to­po­lun kier­tä­mi­nen kes­tää 30 mi­nuut­tia ja juos­ten (no­peus 10 km/h) sa­maan mat­kaan ku­luu ai­kaa 15 mi­nuut­tia. Kun no­peus tu­lee kak­sin­ker­tai­sek­si, aika pie­ne­nee puo­leen. Suu­reet ovat kään­tä­en ver­ran­nol­li­sia, kun toi­sen muut­tu­es­sa toi­nen muut­tuu sa­mas­sa suh­tees­sa, mut­ta päin­vas­tai­ses­ti.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Kun kään­tä­en ver­ran­nol­lis­ten suu­rei­den riip­pu­vuut­ta ku­va­taan koor­di­naa­tis­tos­sa, pis­teet si­jait­se­vat käy­räl­lä, jota kut­su­taan hy­per­be­lik­si.

Esimerkki 1.

Jos nel­jä mies­tä te­kee työn 6 tun­nis­sa, pal­jon­ko ai­kaa ku­luu kol­mel­ta mie­hel­tä sa­man työn te­ke­mi­seen?

Ratkaisu:

Myös kään­tä­en ver­ran­nol­lis­ten suu­rei­den rat­kai­se­mi­ses­sa voi­daan hyö­dyn­tää ase­tel­maa. Mer­ki­tään kol­mel­ta mie­hel­tä työ­hön ku­lu­vaa ai­kaa x:llä ja laa­di­taan ase­tel­ma mies­ten luku­mää­ris­tä ja ajois­ta.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ajan kas­vu­suun­ta täy­tyy pää­tel­lä. Mitä vä­hem­män mie­hiä on, sitä kau­em­min heil­lä kes­tää saa­da sama työ val­miik­si. Eri­suun­tai­set nuo­let viit­taa­vat kään­tä­en ver­ran­nol­li­siin suu­rei­siin. Ase­tel­man pe­rus­teel­la muo­dos­te­taan ver­ran­to ”kään­tä­mäl­lä” nuo­let sa­man­suun­tai­sik­si.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ris­tiin ker­to­mal­la saa­daan:

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: Kol­mel­ta mie­hel­tä työn te­ke­mi­seen me­nee 8 h.

Esimerkki 2.

Len­to­ko­neen no­peus oli meno­mat­kal­la 600 km/h, jol­loin mat­ka kes­ti 2,5 tun­tia. Pa­luu­mat­kal­la vas­ta­tuu­les­ta joh­tu­en no­peus oli 500 km/h. Kau­an­ko pa­luu­mat­ka kes­ti?

Ratkaisu:

Mer­ki­tään pa­luu­mat­kaan ku­lu­vaa ai­kaa x:llä ja laa­di­taan ase­tel­ma no­peuk­sis­ta ja ajois­ta.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ky­sees­sä on kään­tä­en ver­ran­nol­li­set suu­reet, jois­ta muo­dos­te­taan ver­ran­to ”kään­tä­mäl­lä” nuo­let sa­man­suun­tai­sik­si.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ris­tiin ker­to­mal­la saa­daan:

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: Pa­luu­mat­ka kes­ti 3 h.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!