2. Funktion määritelmä

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Jos y on x:n funk­tio, niin kaik­ki mah­dol­li­set x:n ar­vot muo­dos­ta­vat funk­ti­on mää­rit­te­ly­jou­kon eli läh­tö­jou­kon ja kaik­ki mah­dol­li­set y:n ar­vot vas­taa­vas­ti maa­li­jou­kon. Funk­ti­on arvo­jouk­ko eli kuva­jouk­ko on puo­les­taan funk­ti­on ar­vo­jen jouk­ko, joka on saa­tu käyt­tä­mäl­lä eri x:n ar­vo­ja. Arvo­jouk­ko on maa­li­jou­kon osa­jouk­ko. Ma­te­maat­ti­sis­sa esi­mer­keis­sä jou­kot ovat usein luku­jouk­ko­ja, mut­ta re­aa­li­maa­il­man il­mi­öi­tä ku­vaa­vis­sa teh­tä­vis­sä jou­kot voi­vat muo­dos­tua mis­tä ta­han­sa, esi­mer­kik­si eläi­mis­tä.

Funk­ti­on lau­se­ket­ta mer­ki­tään usein y:n si­jas­ta f(x):llä. Muut­tu­ja­na on siis x ja funk­ti­on ar­vot mää­räy­ty­vät tie­tyn sään­nön mu­kaan x:n ar­vo­jen pe­rus­teel­la. Asia­yh­tey­des­tä riip­pu­en funk­ti­o­ta ja muut­tu­jaa mer­ki­tään myös muil­la kir­jai­mil­la. Jos ky­sees­sä on esi­mer­kik­si no­peus ajan funk­ti­o­na, merkitän sitä yleen­sä v(t).

Esimerkki 1.

Mikä on edel­li­sen kap­pa­leen ku­vauk­sen x → 2x + 1 mää­rit­te­ly-, arvo- ja maa­li­jouk­ko?

Ratkaisu:

Ky­sei­sen funk­ti­o­ko­neen toi­min­nas­ta sa­not­tiin näin: ”Se pys­tyy ot­ta­maan vas­taan ai­no­as­taan lu­vut 0, 1, 2, 3 ja 4. Ulos voi tul­la mikä ta­han­sa luku nol­las­ta yh­dek­sään.”

Ku­vauk­sen mää­rit­te­ly­jou­kon eli läh­tö­jou­kon muo­dos­ta­vat kaik­ki ne al­ki­ot (täs­sä ta­pauk­ses­sa lu­vut), joi­ta ko­nee­seen voi­daan syöt­tää eli 0, 1, 2, 3 ja 4. Maa­li­jouk­ko muo­dos­tuu mah­dol­li­ses­ti ulos­tu­le­vis­ta lu­vuis­ta, joi­ta ovat 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Maa­li­jouk­ko ei tar­koi­ta sitä, että kaik­ki nämä lu­vut myös tu­le­vat ulos ko­nees­ta. Ne lu­vut, jot­ka ko­nees­ta to­del­la saa­daan, ovat 1, 3, 5, 7 ja 9. Nämä muo­dos­ta­vat arvo­jou­kon eli kuva­jou­kon. Arvo­jouk­ko muo­dos­tuu aina maa­li­jou­kon al­ki­ois­ta. Se voi si­säl­tää kaik­ki maa­li­jou­kon al­ki­ot tai niin kuin täs­sä ta­pauk­ses­sa, osan niis­tä.

Vas­taus: Ku­vauk­sen x → 2x + 1 mää­rit­te­ly­jouk­ko on {0, 1, 2, 3, 4}, arvo­jouk­ko on {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ja maa­li­jouk­ko on {1, 3, 5, 7, 9}.

Esimerkki 2.

Mit­kä seu­raa­vis­ta ku­vaa­vat funk­ti­oi­ta?

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ratkaisu:

a) Ky­sees­sä on funk­tio, sil­lä mää­rit­te­ly­jou­kon jo­kais­ta lu­kua vas­taa täs­mäl­leen yksi maa­li­jou­kon luku. Arvo­jou­kon luku on saa­tu ker­to­mal­la mää­rit­te­ly­jou­kon luku kah­del­la.

b) Ky­sees­sä ei ole funk­tio. Mää­rit­te­ly­jou­kon luku 2 ku­vau­tuu kah­dek­si eri ar­vok­si. Funk­ti­on on aina an­net­ta­va arvo sa­mo­jen sään­tö­jen mu­kai­ses­ti. Li­säk­si mää­rit­te­ly­jou­kon luku 1 ei ku­vau­du mik­si­kään.

c) Ky­sees­sä on funk­tio. Funk­tio ku­vaa mää­rit­te­ly­jou­kon lu­vut lu­vuik­si, jot­ka ovat arvo­jou­kon lu­ku­jen nu­me­roi­den sum­ma.

Huom! Mää­rit­te­ly­jou­kon luku ei voi ku­vau­tua kah­dek­si eri maa­li­jou­kon lu­vuk­si, mut­ta kak­si eri mää­rit­te­ly­jou­kon lu­kua voi­vat ku­vau­tua sa­mak­si maa­li­jou­kon lu­vuk­si.

Esimerkki 3.

Funk­ti­on f ar­vot las­ke­taan sään­nöl­lä ”Lu­vus­ta vä­hen­ne­tään yksi ja ero­tus ker­ro­taan lu­vul­la 3”.

a) Muo­dos­te­taan funk­ti­on lau­se­ke.

Mer­ki­tään lu­kua kir­jai­mel­la x, jol­loin f(x) = (x – 1) · 3 = 3x – 3.

b) Las­ke­taan funk­ti­on arvo pis­tees­sä 6.

Si­joi­te­taan nyt ai­em­paan funk­ti­oon x:n pai­kal­le luku 6:

f(6) = 3 · 6 – 3 = 15