4. Nollannen ja ensimmäisen asteen polynomifunktio

Esi­mer­kik­si funk­tio f(x) = x + 3 on en­sim­mäi­sen as­teen po­ly­no­mi­funk­tio, jon­ka ku­vaa­ja on suo­ra y = x + 3. Vie­lä­kö muis­tat, mi­ten suo­ra piir­re­tään hyö­dyn­tä­mäl­lä suo­ran yh­tä­lön rat­kais­tua muo­toa?

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Va­ki­o­ter­mi b ker­too koh­dan, jos­sa suo­ra leik­kaa y-ak­se­lin. Se on suo­ran ku­vaa­jan ja y-ak­se­lin leik­kaus­pis­teen y-koor­di­naat­ti. Toi­nen pis­te, jon­ka kaut­ta suo­ra kul­kee, mää­ri­te­tään kul­ma­ker­toi­mes­ta. Suo­ran kul­ma­ker­roin ker­too pal­jon­ko y-koor­di­naat­ti muut­tuu (kas­vaa tai vä­he­nee), kun x-koor­di­naat­ti kas­vaa yh­del­lä. Siir­ry­tään koor­di­naa­tis­tos­sa y-ak­se­lin leik­kaus­pis­tees­tä kul­ma­ker­toi­men ni­mit­tä­jän il­moit­ta­ma mää­rä x-ak­se­lin suun­tai­ses­ti ja osoit­ta­jan il­moit­ta­ma mää­rä y-ak­se­lin suun­tai­ses­ti.

Vas­taa­vas­ti suo­ran ku­vaa­jan pe­rus­teel­la voi­daan mää­rit­tää suo­ran yh­tä­lö ja edel­leen mitä funk­ti­o­ta se ku­vaa. Suo­ran yh­tä­lön y = kx + b va­ki­o­ter­mi näh­dään ku­vaa­jan ja y-ak­se­lin leik­kaus­pis­tees­tä. Kul­ma­ker­roin voi­daan puo­les­taan las­kea kah­den suo­ral­la ole­van pis­teen avul­la. Sen arvo on riip­pu­ma­ton suo­ral­la ole­vien pis­tei­den va­lin­nas­ta.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

En­sim­mäi­sen as­teen po­ly­no­mi­funk­ti­on ku­vaa­ja on aina nou­se­va tai las­ke­va suo­ra.Funk­ti­on kas­va­mi­nen ja vä­he­ne­mi­nen on sitä voi­mak­kaam­paa mitä suu­rem­pi it­seis­arvo kul­ma­ker­toi­mel­la on.

Jos kul­ma­ker­roin on nol­la, hä­vi­ää funk­ti­on yh­tä­lös­tä x ko­ko­naan, eikä funk­ti­on arvo siis rii­pu mi­ten­kään muut­tu­jan x ar­vos­ta. Täl­lais­ta funk­ti­o­ta kut­su­taan nol­lan­nen as­teen po­ly­no­mi­funk­ti­ok­si eli va­ki­o­funk­ti­ok­si. Nol­lan­nen as­teen po­ly­no­mi­funk­ti­on ku­vaa­ja on x-ak­se­lin suun­tai­nen suo­ra y = t, mis­sä t on suo­ran ja y-ak­se­lin leik­kaus­pis­teen y-koor­di­naat­ti.

Mik­si y-ak­se­lin suun­tai­nen suo­ra ei ole min­kään funk­ti­on ku­vaa­ja?

Esimerkki 1.

Piir­re­tään funk­ti­on f(x) = –2x + 3  ku­vaa­ja.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 2.

Muo­dos­te­taan auto­kor­jaa­mon työs­tä pe­rit­tä­vän hin­nan funk­tio käy­te­tyn ajan suh­teen ja las­ke­taan funk­ti­on avul­la pal­jon­ko mak­saa vii­den tun­nin työ.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Mer­ki­tään ai­kaa x:llä ja hin­taa y:llä. Suo­ran yh­tä­lö on muo­toa y = kx + b. Jot­ta sai­sim­me ku­vaa­jaa vas­taa­van yh­tä­lön muo­dos­tet­tua, on rat­kais­ta­va ja si­joi­tet­ta­va suo­ran yh­tä­löön kul­ma­ker­roin ja va­ki­o­ter­mi.

Va­ki­o­ter­mi b saa­daan suo­ran ja y-ak­se­lin leik­kaus­pis­tees­tä eli b = 40.

Va­li­taan tar­kas­te­lu­pis­teik­si (x₁, y₁) = (1, 60) ja (x₂, y₂) = (3, 100), joi­den avul­la las­ke­taan kul­ma­ker­roin.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Si­joi­te­taan kul­ma­ker­roin ja va­ki­o­ter­mi suo­ran yh­tä­löön, jol­loin saa­daan y = 20x + 40 eli hin­ta­funk­tio on f(x) = 20x + 40.

Funk­ti­on ar­vok­si saa­daan x:n ar­vol­la 5 f(5) = 20 · 5 + 40 = 140.

Vas­taus: Hin­ta saa­daan mää­ri­te­tyk­si funk­ti­os­ta f(x) = 20x + 40 , mis­sä x on työs­ken­te­ly­aika tun­tei­na. Vii­den tun­nin työn hin­ta 140 €.