5. Funktion nollakohta ja lineaarinen riippuvuus

Mil­lä x:n ar­vol­la funk­tio saa ar­von nol­la tai mis­sä pis­tees­sä funk­ti­on ku­vaa­ja leik­kaa x-ak­se­lin? Kyse on sa­mas­ta asi­as­ta, funk­ti­on nol­la­koh­dan mää­rit­tä­mi­ses­tä. Liki­mää­räi­ses­ti nol­la­koh­ta voi­daan mää­rit­tää piir­tä­mäl­lä. Se on myös hel­pos­ti las­ket­ta­vis­sa.

Funk­ti­on nol­la­koh­ta mää­ri­te­tään siis mer­kit­se­mäl­lä funk­ti­on lau­se­ke yhtä suu­rek­si kuin nol­la ja rat­kai­se­mal­la tämä yh­tä­lö.

Jos funk­ti­on ku­vaa­ja on suo­ra, sa­no­taan suu­rei­den x ja y riip­pu­van li­ne­aa­ri­ses­ti toi­sis­taan.Li­ne­aa­ri­nen riip­pu­vuus ku­vaa ta­sais­ta muu­tos­ta eli muu­tos yk­sik­köä koh­den on joka vai­hees­sa yhtä suu­ri. Po­si­tii­vi­nen muu­tos tar­koit­taa li­ne­aa­ris­ta kas­va­mis­ta ja ne­ga­tii­vi­nen muu­tos tar­koit­taa li­ne­aa­ris­ta vä­he­ne­mis­tä. Jos tie­de­tään, että jo­kin il­miö nou­dat­taa li­ne­aa­ris­ta mal­lia ja tun­ne­taan kak­si tar­kas­te­lu­pis­tet­tä, voi­daan tie­to­jen poh­jal­ta muo­dos­taa mal­lin yh­tä­lö.

Esimerkki 1.

Rat­kai­se funk­ti­on f(x) = x + 3 nol­la­koh­ta

a) piir­tä­mäl­lä

b) las­ke­mal­la.

Ratkaisu:

a) f(x) = x + 3 on en­sim­mäi­sen as­teen po­ly­no­mi­funk­tio, jon­ka ku­vaa­ja on suo­ra y = x + 3. Piir­re­tään tämä koor­di­naa­tis­toon.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Nol­la­koh­ta löy­tyy funk­ti­on ku­vaa­jan ja x-ak­se­lin leik­kaus­pis­tees­tä, jo­ten se on x = -3.

b) Funk­ti­on nol­la­koh­ta to­teut­taa eh­don f(x) = 0, jo­ten rat­kais­taan yh­tä­lö

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: x = −3

Esimerkki 2.

Tak­sin pe­rus­mak­su on 4 € ja jo­kai­nen kilo­met­ri mak­saa 1,02 €/km. Muo­dos­ta funk­tio, joka il­moit­taa tak­si­mat­kan kus­tan­nuk­set mat­kan funk­ti­o­na ja piir­rä ku­vaa­ja. Min­kä­lai­nen riip­pu­vuus on tak­si­mat­kan pi­tuu­den ja hin­nan vä­lil­lä?

Ratkaisu:

Mer­ki­tään tak­si­mat­kan pi­tuut­ta x:llä (yk­sik­kö­nä km), täl­löin hin­ta­funk­ti­ok­si saa­daan

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Funk­tio on en­sim­mäi­sen as­teen po­ly­no­mi­funk­tio ja sen ku­vaa­ja on suo­ra.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Kos­ka funk­ti­on ku­vaa­ja on suo­ra, joka ei kul­je ori­gon kaut­ta, val­lit­see tak­si­mat­kan pi­tuu­den ja hin­nan vä­lil­lä li­ne­aa­ri­nen riip­pu­vuus. Tämä oli­si voi­tu pää­tel­lä myös suo­raan funk­ti­on yh­tä­lös­tä ku­vaa­jaa piir­tä­mät­tä.

Funk­ti­on f(x) = 1,02x + 4 aste­luku on yksi. En­sim­mäi­sen as­teen po­ly­no­mi­funk­ti­on ku­vaa­ja on aina suo­ra. Näin ol­len tak­si­mat­kan pi­tuu­den ja hin­nan vä­lil­lä val­lit­see li­ne­aa­ri­nen riip­pu­vuus.