6. Paloittain määritelty funktio*

Mo­nis­sa ta­pauk­sis­sa funk­tio saa ar­vo­ja eri sään­nön mu­kai­ses­ti eri muut­tu­jan ar­voil­la. Esi­mer­kik­si os­tok­sis­ta voi saa­da pal­jous­a­len­nus­ta ja mitä enem­män tie­naa sitä kor­ke­am­mak­si vero­pro­sent­ti nou­see. Las­ku­ta­van muu­tos on sel­väs­ti ha­vait­ta­vis­sa funk­ti­on ku­vaa­jas­ta, joka näyt­tää muo­dos­tu­van use­as­ta eri pa­las­ta. Ky­sees­sä on­kin pa­loit­tain mää­ri­tel­ty funk­tio. Pa­loit­tain mää­ri­tel­ty funk­tio on jat­ku­va, jos sen ku­vaa­ja on kat­ke­a­ma­ton käy­rä, muus­sa ta­pauk­ses­sa funk­ti­o­ta sa­no­taan epä­jat­ku­vak­si.

Esimerkki 1.

Tau­lu­kos­sa on esi­tet­ty pos­ti­mak­sun riip­pu­vuus koti­maa­han lä­he­tet­tä­vän kir­jeen pai­nos­ta.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Läh­de: Ylei­sim­mät pos­ti­mak­sut Suo­mes­sa 1.1.2014 al­ka­en, www.pos­ti.fi

Piir­re­tään ku­vaa­ja kir­jeen hin­nan muo­dos­tu­mi­ses­ta pai­non suh­teen.

Ei ole mer­ki­tys­tä pai­naa­ko kir­je 505 gram­maa vai hie­man alle ki­lon, hin­ta on kui­ten­kin sama 4,00 €. Täl­löin ku­vaa­ja vä­lil­lä 500 g – 1000 g on vaa­ka-ak­se­lin suun­tai­nen suo­ra. Kun pai­no ylit­tää 1 kg, hy­päh­tää mak­su 6,00 eu­roon ja py­syt­te­lee siel­lä, kun­nes pa­ke­tin pai­no on yli 2 kg. Ku­vaa­ja muo­dos­tuu si­ten vaa­ka-ak­se­lin suun­tai­sis­ta pa­la­sis­ta. Vaa­ka­suun­tais­ten vii­vo­jen lo­pus­sa ole­vat ym­py­rät ko­ros­ta­vat sitä pis­tet­tä, jol­ta funk­ti­on arvo on lii­tos­koh­dis­sa lu­et­ta­va. Funk­ti­o­kä­sit­teen mää­ri­tel­män mu­kaan funk­ti­ol­la ei saa olla yh­des­sä koh­das­sa kuin yksi arvo!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 2.

Lee­vin päi­vä­koh­tai­nen palk­ka muo­dos­tui si­ten, että kah­den en­sim­mäi­sen tun­nin palk­ka oli 6,50 € / h ja sitä seu­raa­vien tun­tien palk­ka 11,50 € / h. Muo­dos­te­taan Lee­vin palk­ka­funk­ti­on lau­se­ke.

Piir­re­tään Lee­vin pal­kas­ta en­sin ku­vaa­ja, jon­ka avul­la sel­vi­te­tään yh­tä­löt.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Kah­den en­sim­mäi­sen tun­nin palk­ka saa­daan yh­tä­lös­tä y = 6,50 x.

Jot­ta pys­ty­tään mää­rit­tä­mään suo­ral­le yh­tä­lö, joka ku­vaa palk­kaus­ta kah­den tun­nin jäl­keen, ote­taan kah­den tun­nin koh­dal­ta al­ka­val­ta suo­ral­ta kak­si tar­kas­te­lu­pis­tet­tä (x₁, y₁) ja (x₂, y₂), joi­den avul­la las­ke­taan suo­ran kul­ma­ker­roin.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Yh­tä­lön kir­joit­ta­mis­ta var­ten pi­täi­si vie­lä tie­tää koh­ta, jos­sa ku­vaa­ja leik­kaa y-ak­se­lin. Mää­ri­te­tään leik­kaus­koh­ta piir­tä­mäl­lä suo­ral­le jat­ke.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Suo­ran jat­ke leik­kaa y-ak­se­lin koh­das­sa y = −10, jo­ten suo­ran yh­tä­lö on y = 11,50x − 10.

Kah­den en­sim­mäi­sen tun­nin ajal­ta palk­ka saa­daan las­ke­tuk­si yh­tä­löl­lä y = 6,50x ja kah­den tun­nin jäl­keen yh­tä­löl­lä y = 11,50x − 10. Pa­loit­tain mää­ri­tel­lyn funk­ti­on lau­se­ke kir­joi­te­taan muo­dos­sa

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Huom! Te­ke­mät­tö­mis­tä tun­neis­ta ei mak­se­ta palk­kaa, jo­ten funk­ti­o­ta ei ole jär­ke­vää käyt­tää ne­ga­tii­vi­sil­le ar­voil­le, täs­tä tu­lee ehto 0 ≤ x ≤ 2 eikä pel­käs­tään x ≤ 2.