8. Lukujonoja

Kun lu­ku­ja ase­te­taan pe­räk­käin pil­kuil­la ero­tet­tui­na, muo­dos­tuu luku­jono. Luku­jono voi olla päät­ty­vä tai päät­ty­mä­tön. Päät­ty­mät­tö­män jo­non lo­pus­sa on kol­me pis­tet­tä.

Luku­jo­non 1, 4, 7, 10, 13,… seu­raa­vat lu­vut ovat hel­pos­ti pää­tel­tä­vis­sä, sil­lä ne muo­dos­tu­vat tie­tyn sään­nön mu­kaan.

Luku­jono voi­daan aja­tel­la funk­ti­o­na, jon­ka mää­rit­te­ly­jouk­ko on {1, 2, 3, …, n} ja arvo­jouk­ko {f(1), f(2), f(3), …, f(n)}. Luku­jo­non ter­mit voi­daan si­ten lu­e­tel­la si­joit­ta­mal­la funk­ti­oon muut­tu­jan pai­kal­le ter­min jär­jes­tys­nu­me­ro. Ylei­ses­ti luku­jo­nois­sa käy­te­tään muut­tu­ja­na kir­jain­ta n.

Luku­jono muo­dos­tuu yleen­sä tie­tyn sään­nön mu­kaan, jol­loin ter­min jär­jes­tys­lu­vun n avul­la saa­daan itse ter­mi. Sään­tö voi­daan usein tul­ki­ta po­si­tii­vis­ten koko­nais­lu­ku­jen 1, 2, 3, 4, … ja jo­non ter­mien vä­li­sek­si funk­ti­ok­si f(n) = a_n.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 1.

Mää­ri­te­tään luku­jo­non kol­me en­sim­mäis­tä ter­miä ja 15. ter­mi, kun ylei­nen ter­mi on a_n = 3 + 2n.

n ku­vaa ter­min jär­jes­tys­lu­kua, jo­ten en­sim­mäi­nen ter­mi saa­daan, kun lu­vun n pai­kal­le si­joi­te­taan 1 jne.

a₁ = 3 + 2 · 1 = 5

a₂ = 3 + 2 · 2 = 7

a₃ = 3 + 2 · 3 = 9

a₁₅ = 3 + 2 · 15 = 33

Esimerkki 2.

Mikä on luku­jo­non sa­das ter­mi?

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ratkaisu:

Luku­jo­non seu­raa­va ter­mi saa­daan li­sää­mäl­lä edel­li­seen ter­miin luku kol­me. Oli­si ko­vin työ­läs­tä sel­vit­tää vas­taus käy­mäl­lä läpi kaik­ki sata ter­miä. On­kin löy­det­tä­vis­sä sään­tö, mi­ten luku­jo­non ter­mit muo­dos­tu­vat. Sään­nös­sä hyö­dyn­ne­tään ter­min jär­jes­tys­nu­me­roa. Päät­te­lyn apu­na voi­daan käyt­tää funk­ti­o­ko­net­ta, joka muo­dos­taa ku­vauk­set seu­raa­vas­ti:

1 → 1

2 → 4

3 → 7

4 → 10

5 → 13

Ylei­ses­ti toi­min­ta­tapa voi­daan esit­tää muo­dos­sa n →  3n − 2 eli luku­jo­non ylei­nen ter­mi on a_n = 3n − 2. Sa­das ter­mi on täl­löin 3 · 100 − 2 = 298.

Vas­taus: 100. ter­mi on 298