12. Yhtälöparin ratkaiseminen laskemalla

Yh­tä­lö­pa­ris­sa on yleen­sä kak­si tun­te­ma­ton­ta. Yh­tä­lö­pa­rin las­ken­nal­li­sia rat­kai­su­ta­po­ja on usei­ta. Yh­teis­tä kai­kil­le ta­voil­le kui­ten­kin on, että toi­nen tun­te­mat­to­mis­ta pois­te­taan. Jäl­jel­le py­ri­tään saa­maan ai­no­as­taan yksi yh­tä­lö, jos­sa on yksi muut­tu­ja. Tämä yh­tä­lö rat­kais­taan ta­val­li­sia yh­tä­lön rat­kai­su­sään­tö­jä nou­dat­ta­en. Kun saa­tu rat­kai­su si­joi­te­taan jom­paan­kum­paan alku­pe­räi­sen yh­tä­lö­pa­rin yh­tä­löis­tä, löy­de­tään toi­nen tun­te­mat­to­mis­ta.

Jos­kus hel­poin tapa yh­tä­lön toi­sen muut­tu­jan eli­mi­noi­mi­seen on yh­tä­löi­den las­ke­mi­nen puo­lit­tain yh­teen. Mitä enem­män yh­tä­lö­pa­rin rat­kai­se­mis­ta har­joit­te­lee, sitä no­pe­am­min op­pii löy­tä­mään te­hok­kaim­man rat­kai­su­kei­non.

Esimerkki 1.

Rat­kais­taan yh­tä­lö­pari si­joi­tus­me­ne­tel­mäl­lä.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Rat­kais­taan alem­mas­ta yh­tä­lös­tä y ja si­joi­te­taan y:n arvo ylem­pään yh­tä­löön.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Saa­daan yh­tä­lö, jos­sa on muut­tu­ja­na ai­no­as­taan x.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Si­joi­te­taan saa­tu arvo x = 3 yh­tä­löön y = x – 5, jos­ta rat­kais­taan y = -2.

Tarkistus:

Si­joi­te­taan ar­vot yh­tä­löi­hin ja kat­so­taan to­teu­tu­vat­ko ne:

3 + (-2) = 1 ja 3 – (-2) = 5

Mo­lem­mat yh­tä­löt pi­tä­vät paik­kaan­sa, jo­ten rat­kai­sut ovat oi­kein.

Vas­taus: x = 3 ja y = -2

Esimerkki 2.

Rat­kais­taan yh­tä­lö­pari eli­mi­noi­mal­la.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Eli­mi­noi­daan yh­tä­lös­tä muut­tu­jat y. Yh­tä­löis­sä on sama mää­rä, mut­ta vas­tak­kais­merk­ki­siä muut­tu­jia y. Las­ke­mal­la yh­tä­löt puo­lit­tain yh­teen, sie­ve­ne­vät muut­tu­jat y pois.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Eli­mi­noi­daan yh­tä­lös­tä seu­raa­vak­si muut­tu­jat x. Jos ylem­pi yh­tä­löis­tä ker­ro­taan lu­vul­la –1 ja las­ke­taan yh­tä­löt yh­teen, sie­ve­ne­vät muut­tu­jat x pois.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: x = 3 ja y = -1.

Esimerkki 3.

Rat­kais­taan yh­tä­lö­pari.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Yh­tä­löi­hin saa­daan sama mää­rä, mut­ta vas­tak­kais­merk­ki­siä, muut­tu­jia y, jos ylem­pi yh­tä­lö ker­ro­taan kah­del­la.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Si­joi­te­taan saa­tu x:n arvo ylem­pään yh­tä­löön ja rat­kais­taan sii­tä y.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: x = 2 ja y = 0.

Huom! Esi­mer­kin 3 yh­tä­lö­pa­rin rat­kai­se­mi­ses­sa käy­tet­tiin sekä si­joi­tus- että eli­mi­noin­ti­me­ne­tel­mää.