14. Epäyhtälön ratkaiseminen graafisesti

Esimerkki 1.

Rat­kais­taan epä­yh­tä­lö −9x + 16 ≥ −x ja ha­vain­nol­lis­te­taan rat­kai­sua luku­suo­ral­la.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Epä­yh­tä­lö siis to­teu­tuu, kun x on esi­mer­kik­si 1, -3 tai vaik­ka -4,456. Rat­kai­su­jen suur­ta mää­rää on help­po ha­vain­nol­lis­taa luku­suo­ral­la.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Epä­yh­tä­lö on ky­sees­sä sil­loin kun yh­tä­lös­sä yhtä­suu­ruus­mer­kin ti­lal­la on jo­kin epä­yh­tä­löä ku­vaa­vis­ta mer­keis­tä.

Epä­yh­tä­löi­tä voi­daan ha­vain­nol­lis­taa ku­vaa­jien avul­la sa­maan ta­paan kuin funk­ti­oi­ta ja yh­tä­löi­tä. Epä­yh­tä­lö­tar­kas­te­lu­ja on ai­kai­sem­min teh­ty pel­käs­tään luku­suo­ral­la. Luku­suo­ra ei kui­ten­kaan so­vel­lu kuin x– ja y-ak­se­lien suun­tais­ten epä­yh­tä­löi­den ha­vain­nol­lis­ta­mi­seen. Laa­jem­pia tar­kas­te­lu­ja voi­daan suo­rit­taa koor­di­naa­tis­tos­sa, jos­sa voi­daan ha­vain­nol­lis­taa myös kah­den muut­tu­ja epä­yh­tä­löi­tä.

Esimerkki 1.

Ha­vain­nol­lis­ta epä­yh­tä­löi­tä x > 2 ja y ≤ 2

a) luku­suo­ral­la

b) koor­di­naa­tis­tos­sa.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 2.

Piir­rä koor­di­naa­tis­toon kuva alu­ees­ta x − y ≤ 3.

Ratkaisu:

Aloi­te­taan tar­kas­te­lu suo­ras­ta x − y = 3, kos­ka tämä tu­lee ole­maan alu­een ra­ja­na. Kir­joi­te­taan yh­tä­lö tu­tum­paan muo­toon, jos­sa yhtä­suu­ruus­mer­kin va­sem­mal­la puo­lel­la on muut­tu­ja y ja muut ter­mit oi­ke­al­la puo­lel­la eli y = x − 3. Piir­re­tään suo­ra koor­di­naa­tis­toon.

On­gel­ma­na on, että kum­pi suo­ran puo­lis­ta to­teut­taa epä­yh­tä­lön. Tä­män sel­vit­tä­mi­sek­si va­li­taan jom­mal­ta­kum­mal­ta suo­ran puo­lel­ta tar­kas­te­lu­pis­te ja kat­so­taan to­teut­taa­ko tämä pis­te epä­yh­tä­lön.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Tar­kas­te­lu­pis­teek­si va­li­taan (1, 1) ja si­joit­ta­mal­la ky­sei­nen pis­te epä­yh­tä­löön x – y ≤ 3 saa­daan

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

On tot­ta, että nol­la on pie­nem­pi kuin kol­me, jol­loin tes­ti­pis­te (1, 1) kuu­luu alu­ee­seen x – y ≤ 3.

Suo­ran y = x – 3 ylä­puo­li siis to­teut­taa yh­tä­lön x – y ≤ 3 ja var­jos­te­taan tämä alue koor­di­naa­tis­tos­ta.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!