15. Epäyhtälöpari*

Myös epä­yh­tä­löi­tä voi­daan tar­kas­tel­la pa­reit­tain. Epä­yh­tä­lö­pa­ris­sa on syy­tä kiin­nit­tää huo­mi­o­ta sii­hen onko mo­lem­pien epä­yh­tä­löi­den ol­ta­va voi­mas­sa sa­man­ai­kai­ses­ti, vai riit­tää­kö että edes toi­nen epä­yh­tä­löis­tä to­teu­tuu.

Esimerkki 1.

Mit­kä x:n ar­vot to­teut­ta­vat epä­yh­tä­lö­pa­rit?

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Rat­kais­taan mo­lem­mat epä­yh­tä­löt aluk­si nor­maa­lis­ti erik­seen.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Et­si­tään luku­suo­ran avul­la alue, jos­sa mo­lem­mat epä­yh­tä­löt to­teu­tu­vat.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: 2 ≤ x < 7

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Rat­kais­taan mo­lem­mat epä­yh­tä­löt aluk­si nor­maa­lis­ti erik­seen.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Et­si­tään luku­suo­ran avul­la alue, jos­sa edes toi­nen epä­yh­tä­löis­tä to­teu­tuu.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: x < 3 tai  x ≥ 6

Huom! Mer­kin­tä­ta­vas­ta 2 ≤ x < 7 käy­te­tään ni­mi­tys­tä kak­sois­epä­yh­tä­lö, kos­ka sii­nä on sa­man­ai­kai­ses­ti kak­si eri­suu­ruus­merk­kiä. Jos kah­den epä­yh­tä­lön on to­teu­dut­ta­va sa­man­ai­kai­ses­ti, kir­joi­te­taan epä­yh­tä­lö­pari yleen­sä kak­sois­epä­yh­tä­lö­nä.

Epä­yh­tä­löi­tä, jois­sa on vaan yksi muut­tu­ja, on hel­poin­ta ha­vain­nol­lis­taa luku­suo­ral­la. Koor­di­naa­tis­tos­sa sitä vas­toin voi­daan tar­kas­tel­la myös kah­den muut­tu­ja epä­yh­tä­löi­tä.   Tut­ki­taan min­kä­lai­siin alu­ei­siin suo­ra y = x ja­kaa xy-koor­di­naa­tis­ton.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Use­am­man kuin yh­den raja­suo­ran muo­dos­ta­mat taso­a­lu­eet löy­ty­vät hel­poi­ten ko­kei­le­mal­la. Täl­löin va­li­taan jo­kai­ses­ta muo­dos­tu­nees­ta taso­a­lu­ees­ta tar­kas­te­lu­pis­te ja tut­ki­taan mikä pis­teis­tä to­teut­taa mo­lem­mat epä­yh­tä­löt.

Ai­no­as­taan yh­des­sä taso­a­lu­ees­sa kaik­ki epä­yh­tä­löt ovat to­sia.

Esimerkki 2.

Mis­sä taso­a­lu­ees­sa si­jait­se­vat pis­teet, jot­ka to­teut­ta­vat epä­yh­tä­löt  y > 2x − 4 ja x ≥ 1?

Ratkaisu:

Koor­di­naa­tis­ton raja­suo­ri­na ovat ja y = 2x − 4 ja x = 1, jot­ka ja­ka­vat xy-ta­son nel­jään taso­a­lu­ee­seen. Raja­suo­ra y = 2x − 4 piir­re­tään kat­ko­vii­voin, kos­ka sen pis­teet ei­vät enää to­teu­ta vaa­dit­tua epä­yh­tä­löä. Va­li­taan jo­kai­ses­ta ta­son osas­ta tar­kas­te­lu­pis­teet, si­joi­te­taan ne mo­lem­piin epä­yh­tä­löi­hin ja tut­ki­taan mikä niis­tä to­teut­taa mo­lem­mat epä­yh­tä­löt.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Tar­kas­te­lu­pis­te (2, 4) to­teut­taa mo­lem­mat epä­yh­tä­löt, jol­loin ky­syt­ty taso­alue on se, jos­sa tämä pis­te si­jait­see.

Huom! Epä­yh­tä­löi­den to­teu­tu­mis­tar­kas­te­lut ol­tai­siin voi­tu lo­pet­taa pis­teen (2, 4) jäl­keen, kos­ka taso­a­lu­ei­ta, jot­ka to­teut­ta­vat mo­lem­mat epä­yh­tä­löt sa­man­ai­kai­ses­ti voi olla ai­no­as­taan yksi. Mah­dol­li­sen vir­heen ha­vait­se­mi­sek­si on kui­ten­kin hyvä tut­kia kaik­ki tar­kas­te­lu­pis­teet.