5. Toisen asteen polynomifunktio

Esimerkki 1.

Yk­sin­ker­tai­sin toi­sen as­teen po­ly­no­mi­funk­tio on muo­toa f(x) = x². Las­ke­taan muu­ta­mia käy­rän y = x² pis­tei­tä, si­joi­te­taan ne koor­di­naa­tis­toon ja yh­dis­te­tään ku­vaa­jak­si. Tätä pa­raa­be­lia kut­su­taan pe­rus­pa­raa­be­lik­si.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Huom! Pis­tei­tä ei saa yh­dis­tää toi­siin­sa ja­noil­la eli suo­ril­la vii­voil­la. Täl­löin­hän oli­si ky­sees­sä mo­nes­ta eri en­sim­mäi­sen as­teen yh­tä­lös­tä muo­dos­tu­va pa­loit­tain mää­ri­tel­ty funk­tio. En­sim­mäi­sen as­teen funk­ti­on ku­vaa­ja on suo­ra, mut­ta kor­ke­am­man as­teen funk­ti­oi­den ku­vaa­jat ovat aina käy­rä­vii­vai­sia.

Käy­rä y = x² on sym­met­ri­nen y-ak­se­lin suh­teen. Pa­raa­be­lin ja sen sym­met­ria-ak­se­lin leik­kaus­pis­tet­tä kut­su­taan hui­puk­si. Koh­tia, jos­sa ku­vaa­ja leik­kaa x-ak­se­lin, sa­no­taan pa­raa­be­lin nol­la­koh­dik­si.

Esimerkki 2.

Tut­ki­taan muo­toa f(x) = ax² ole­vien funk­ti­oi­den ku­vaa­jia. Piir­re­tään muu­ta­ma käy­rä koor­di­naa­tis­toon vaih­del­len ker­toi­men a ar­voa.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Toi­sen as­teen muut­tu­jan ker­roin ei vai­ku­ta sym­met­ria-ak­se­lin tai käy­rän huip­pu­pis­teen si­jain­tiin, mut­ta sil­lä on sel­vä vai­ku­tus pa­raa­be­lin le­vey­teen. Pa­raa­be­lin y = -x² ku­vaa­ja on puo­les­taan pa­raa­be­lin y = x² pei­laus x-ak­se­lin suh­teen.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Jos po­ly­no­mi­funk­ti­on ku­vaa­ja on ylös­päin au­ke­a­va pa­raa­be­li, funk­tio saa pie­nim­män ar­von­sa pa­raa­be­lin hui­pus­sa, mut­ta funk­ti­on suu­rin­ta ar­voa ei voi­da mää­rit­tää. Sen si­jaan jos ku­vaa­ja on alas­päin au­ke­a­va pa­raa­be­li, funk­tio saa suu­rim­man ar­von­sa pa­raa­be­lin hui­pus­sa, mut­ta funk­ti­on pie­nin­tä ar­voa ei voi­da mää­rit­tää.

Esimerkki 3.

Esi­mer­kin 2 funk­ti­oi­den f(x) = 2x², f(x) = x² , f(x) = 1/2 x²pie­nin arvo on 0, mut­ta suu­rin­ta ar­voa ei voi­da mää­rit­tää. Sen si­jaan funk­ti­on f(x) = –x² suu­rin arvo on 0, mut­ta pie­nin­tä ar­voa ei voi­da mää­rit­tää.