18. Vektorin käsite*

Vek­to­reil­la eli nuo­lil­la ku­va­taan suu­rei­ta, joi­hin liit­tyy suu­ruu­den li­säk­si myös suun­ta.Nuo­len pi­tuus ku­vaa suu­reen suu­ruut­ta ja nuo­len kär­ki osoit­taa suun­nan. Vek­to­ri­suu­rei­ta ovat esi­mer­kik­si no­peus ja voi­ma. Jos auto ajaa tie­tyl­lä no­peu­del­la, voi­daan aina il­moit­taa mi­hin suun­taan se on aja­mas­sa. No­peut­ta ei voi olla ole­mas­sa il­man suun­taa. Ska­laa­ri­suu­reil­la puo­les­taan on ai­no­as­taan suu­ruus ja ne il­moi­te­taan mit­ta­lu­vun sekä yk­si­kön avul­la. Ska­laa­ri­suu­rei­ta ovat esi­mer­kik­si mas­sa, aika ja pin­ta-ala. Vek­to­rei­ta käy­te­tään eri­tyi­sen pal­jon fy­sii­kas­sa.

Jos kah­ta pis­tet­tä A ja B yh­dis­tä­väl­le ja­nal­le AB an­ne­taan suun­ta eli so­vi­taan, että toi­nen pis­teis­tä on ja­nan alku­pis­te ja toi­nen sen lop­pu­pis­te eli kär­ki, saa­daan suun­ta­jana. Vek­to­rik­si kut­su­taan mitä ta­han­sa edel­li­sen suun­ta­ja­nan pi­tuis­ta ja suun­tais­ta nuol­ta.

Vek­to­rit voi­daan ni­me­tä kah­del­la eri ta­val­la: Jos vek­to­rin ni­me­ä­mi­seen käy­te­tään alku- ja lop­pu­pis­tet­tä, mer­kit­tään nämä isoil­la kir­jai­mil­la, joi­den pääl­lä on nuo­li. Nuo­li piir­re­tään va­sem­mal­ta oi­ke­al­le, jol­loin loo­gi­ses­ti en­sik­si mai­ni­taan alku­pis­te ja seu­raa­vak­si lop­pu­pis­te. Va­kiin­tu­nut käy­tän­tö on myös ni­me­tä vek­to­rit pie­nel­lä kir­jai­mel­la, jon­ka pääl­lä on joko nuo­li tai pelk­kä vii­va. Vek­to­rin pi­tuus il­mais­taan joko lait­ta­mal­la vek­to­ri­sym­bo­li it­seis­arvo­merk­kei­hin tai jät­tä­mäl­lä sym­bo­lis­ta nuo­li tai vii­va pois.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vek­to­rit voi­vat olla yh­den­suun­tai­sia tai eri­suun­tai­sia. Yh­den­suun­tai­set vek­to­rit voi­vat li­säk­si olla sa­man­suun­tai­sia tai vas­tak­kais­suun­tai­sia. Kak­si vek­to­ria ovat sa­mat, kun ne ovat yhtä pit­kät ja sa­man­suun­tai­set. Vek­to­rit, jot­ka ovat yhtä pit­kät ja vas­tak­kais­suun­tai­set, ovat tois­ten­sa vas­ta­vek­to­rei­ta. Jos vek­to­rin alku­pis­te ja lop­pu­pis­te yh­ty­vät, kut­su­taan vek­to­ria nol­la­vek­to­rik­si ja sitä mer­ki­tään . Nol­la­vek­to­rin pi­tuus on nol­la ja sen suun­ta on mää­rit­te­le­mä­tön.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vek­to­rei­ta ku­va­taan yleen­sä koor­di­naa­tis­tos­sa. Sa­moin kun pi­tuu­des­sa tut­ki­taan, mon­ta­ko ker­taa tiet­ty mit­ta si­säl­tyy tut­kit­ta­vaan koh­tee­seen, on vek­to­ri­e­si­tyk­sen­kin poh­jau­dut­ta­va jo­hon­kin mit­taan. Koor­di­naa­tis­tos­sa vek­to­ri­e­si­tys pe­rus­tuu yk­sik­kö­vek­to­rei­hin ja , joi­den pi­tuu­det ovat 1. Yk­sik­kö­vek­to­ri on x-ak­se­lin suun­tai­nen ja y-ak­se­lin suun­tai­nen. Mo­lem­pien vek­to­rei­den kär­jet osoit­ta­vat ak­se­lei­den po­si­tii­vi­seen suun­taan.

Vek­to­ri voi­daan ker­toa re­aa­li­lu­vul­la, jol­loin saa­daan alku­pe­räi­sen vek­to­rin kans­sa yh­den­suun­tai­nen vek­to­ri. Jos vek­to­ri ker­ro­taan ne­ga­tii­vi­sel­la lu­vul­la, muo­dos­tuu alku­pe­räi­sen vek­to­rin kans­sa vas­tak­kais­suun­tai­nen vek­to­ri eli vas­ta­vek­to­ri.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 1.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ratkaisu:

Si­joi­te­taan pis­teet koor­di­naa­tis­toon. Vek­to­rin ni­mes­tä voi­daan tul­ki­ta, että vek­to­rin alku­pis­te on B ja lop­pu­pis­te A.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 2.

Sie­ven­ne­tään vek­to­ri­lau­sek­keet.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Huom! Yh­den­suun­tais­ten vek­to­rei­den las­ke­mi­nen yh­teen ja vä­hen­tä­mi­nen toi­sis­taan vas­taa re­aa­li­lu­vuil­la las­ke­mis­ta. Eri­suun­tais­ten vek­to­rei­den yh­dis­tä­mi­ses­sä on ol­ta­va tark­ka­na, sil­lä täl­löin on huo­mi­oi­ta­va myös vek­to­rei­den suun­nat. Tä­hän pe­reh­dy­tään seu­raa­vas­sa kap­pa­lees­sa.