13. Klassinen todennäköisyys

To­den­nä­köi­syys­las­ken­ta sai al­kun­sa 1600-lu­vun Rans­kas­sa. En­sim­mäi­set on­gel­mat kos­ki­vat aa­te­lis­ton har­ras­ta­mien uhka­pe­lien voit­to- ja tap­pi­o­mah­dol­li­suuk­sien ana­ly­soin­tia. Ny­kyi­sin to­den­nä­köi­syys­las­ken­taa käy­te­tään muun mu­as­sa lii­ken­ne­suun­nit­te­lus­sa, va­kuu­tus­a­lal­la, laa­dun­tark­kai­lus­sa, sää­en­nus­tei­den laa­din­nas­sa, gee­ni­tut­ki­muk­sis­sa ja ta­lous­tie­tees­sä.

To­den­nä­köi­syys liit­tyy il­mi­öi­hin, joi­den tu­los riip­puu sat­tu­mas­ta. Sa­tun­nais­il­mi­ön lop­pu­tu­los­ta ei voi etu­kä­teen pää­tel­lä, mut­ta tu­los­ten esiin­ty­mis­mah­dol­li­suuk­sia voi­daan tut­kia matemaatisesti. Sa­tun­nais­il­mi­ön eri tu­los­mah­dol­li­suuk­sia kut­su­taan al­keis­ta­pauk­sik­si. Esi­mer­kik­si no­pan­hei­ton al­keis­ta­pauk­set ovat sil­mä­lu­vut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Ko­li­kon­hei­ton al­keis­ta­pauk­set ovat puo­les­taan kruu­na ja klaa­va. Jos kaik­ki al­keis­ta­pauk­set ovat yhtä mah­dol­li­sia, kut­su­taan nii­tä sym­met­ri­sik­si.

Sa­tun­nais­ilmi­öi­den tu­lok­sis­ta voi­daan muo­dos­taa ta­pah­tu­mia, jot­ka muo­dos­tu­vat ky­sei­sel­le ta­pah­tu­mal­le suo­tui­sis­ta al­keis­ta­pauk­sis­ta. No­pan­hei­ton ta­pah­tu­mal­le ”pis­te­luku on pa­ril­li­nen” suo­tui­sat al­keis­ta­pauk­set ovat 2, 4 ja 6.

To­den­nä­köi­syys voi­daan il­moit­taa mur­to-, de­si­maa­li- tai pro­sent­ti­lu­ku­na. Mitä lä­hem­pä­nä P(A) on ar­voa 1, sitä to­den­nä­köi­sem­pi on ta­pah­tu­ma A.

Ta­pah­tu­maa, jol­la ei ole yh­tään suo­tui­saa al­keis­ta­paus­ta, kut­su­taan mah­dot­to­mak­si ja sen to­den­nä­köi­syys on 0 eli 0 %. Jos kaik­ki al­keis­ta­pauk­set ovat puo­les­taan suo­tui­sia, on ta­pah­tu­ma var­ma ja sen to­den­nä­köi­syys on 1 eli 100 %.

Esimerkki 1

Tar­kas­tel­laan no­pan­heit­toa ja ta­pah­tu­maa A = ”pis­te­lu­vuk­si saa­daan 5”. Al­keis­ta­paus­ten jou­kon muo­dos­ta­vat nyt kaik­ki mah­dol­li­set pis­te­lu­vut {1, 2, 3, 4, 5 ja 6}. Ta­pah­tu­mal­la A suo­tui­sia ta­pauk­sia on vain yksi eli pis­te­luku {5}. Ta­pah­tu­man A to­den­nä­köi­syys on siis P(A) = P(pis­te­lu­vuk­si saa­daan 5) = 1/6 ≈ 0,17 = 17%

Esimerkki 2

Kort­ti­pa­kas­sa on 52 kort­tia. Nos­te­taan pa­kas­ta yksi kort­ti. Las­ke­taan to­den­nä­köi­syys sil­le, että kort­ti on

1. ruu­tu­ässä
   P(ruu­tu­ässä) = 1/52
2. hert­ta
   P(hert­ta) = 13/52 = 1/4
3. ku­nin­gas
   P(ku­nin­gas) = 4/52 = 1/13