Sattumaa vaiko ei?

Annu ja Ver­ne­ri suun­nit­te­li­vat häi­tään ja oli­vat huo­lis­saan, jos jon­kun hää­vie­raan mat­ka­pu­he­lin sat­tuu soi­maan vih­ki­mi­sen ai­ka­na pi­la­ten tun­nel­man. He tie­si­vät, että to­den­nä­köi­syys, ett­ei hen­ki­lö osaa lait­taa mat­ka­pu­he­lin­taan ää­net­tö­mäl­le on 1/100. Niin­pä Annu ja Ver­ne­ri suun­nit­te­li­vat ot­ta­van­sa vih­ki­mis­ti­lai­suu­teen mu­kaan oman mat­ka­pu­he­li­men­sa, jos­sa on uusi liit­ty­mä ja jon­ka nu­me­roa ei ole vie­lä ku­kaan tie­dä ja jät­tä­vän­sä pu­he­li­men ää­net pääl­le. He las­ki­vat, että täl­löin to­den­nä­köi­syys, että kah­del­la hen­ki­löl­lä oli­si pu­he­li­mes­sa ää­net pääl­lä, on vain 1/10000.

Ky­sees­sä on ylei­nen to­den­nä­köi­syyt­tä kos­ke­va ereh­dys. Jos kah­del­la toi­sis­taan riip­pu­mat­to­mal­la ta­pauk­sel­la on kum­mal­la­kin to­den­nä­köi­syys 1/100, niin nii­den yhtä­ai­kai­sen to­teu­tu­mi­sen to­den­nä­köi­syys kyl­lä­kin on 1/100 ∙ 1/100 = 1/10000. Täs­sä ta­pauk­ses­sa to­den­nä­köi­syys­las­ken­nan ker­to­sään­töä ei kui­ten­kaan voi käyt­tää, sil­lä toi­nen (hää­pa­rin oma) mat­ka­pu­he­lin ei enää ole sa­tun­nais­ta­paus, vaan var­ma ta­paus.

Tie­de­tään, että mat­ka­pu­he­lin on var­mas­ti pääl­lä ja tätä pu­he­lin­ta kos­ke­va to­den­nä­köi­syys on si­ten yksi. Annu ja Ver­ne­ri ei­vät siis voi itse muut­taa sitä to­den­nä­köi­syyt­tä, että yksi sa­das­ta jät­tää pu­he­li­meen­sa ää­net pääl­le. To­den­nä­köi­syys, että kah­del­la hää­vie­raal­la on mat­ka­pu­he­li­mes­sa ää­net pääl­lä, on tuo yksi kym­me­nes­tä-tu­han­nes­ta.

Vas­taa­va on­gel­ma tu­lee esil­le ame­rik­ka­lai­ses­sa Let’s Make a Deal -tele­vi­si­o­vi­sai­lus­sa, jon­ka ensi­lä­he­tys oli vuon­na 1963. On­gel­ma on ni­met­ty Monty Hall -on­gel­mak­si oh­jel­man juon­ta­jan ni­men mu­kaan. Vi­sai­lus­sa kil­pai­li­jan on va­lit­ta­va yksi kol­mes­ta oves­ta, jois­ta yh­den ta­ka­na on auto ja kah­den ta­ka­na vuo­hi. Kun kil­pai­li­ja on va­lin­nut yh­den oven, juon­ta­ja pal­jas­taa vuo­hen toi­ses­ta jäl­jel­lä ole­vas­ta oves­ta. Tä­män jäl­keen kil­pai­li­jal­la on mah­dol­li­suus vaih­taa va­lit­se­man­sa ovi jäl­jel­lä ole­vaan oveen. Kan­nat­taa­ko kil­pai­li­jan vaih­taa ovea?

Kun kil­pai­li­ja va­lit­see yh­den oven, on hä­nel­lä 1/3 to­den­nä­köi­syys voit­taa auto. To­den­nä­köi­syys, että auto jää juon­ta­jal­le, on si­ten 2/3. Kun juon­ta­ja avaa toi­sen ovis­taan, pois­taa hän tä­män oven ko­ko­naan to­den­nä­köi­syys­las­ken­nan pii­ris­tä. Kil­pai­li­ja tie­tää, ett­ei auto ole ky­sei­sen oven ta­ka­na ja to­den­nä­köi­syy­den sa­tun­nai­suus­vaa­ti­mus ku­mou­tuu. To­den­nä­köi­syy­det ja­et­tiin sil­lä het­kel­lä, kun en­sim­mäi­nen ovi va­lit­tiin. Lop­pu on juon­ta­jan sil­män­kään­tö­temp­pua. Edel­leen to­den­nä­köi­syys, että auto on juon­ta­jal­la, on 2/3 ja kos­ka hä­nel­lä on enää yksi avaa­ma­ton ovi, on tämä koko to­den­nä­köi­syys ”siir­ty­nyt” juon­ta­jan avaa­mat­to­man oven taak­se. Eli kan­nat­taa vaih­taa, kos­ka kil­pai­li­jan oman oven ta­ka­na voit­to on to­den­nä­köi­syy­del­lä 1/3.