17. Yleinen kertosääntö

Oi­ke­an lot­to­ri­vin to­den­nä­köi­syys saa­daan las­ke­tuk­si ker­to­las­kun avul­la. Lot­to­nu­me­rot ovat kui­ten­kin toi­sis­taan riip­pu­via ta­pah­tu­mia. Las­kus­sa on huo­mi­oi­ta­va, että sa­mo­ja nu­me­roi­ta ei voi­da va­li­ta uu­des­taan ja si­ten seu­raa­vaa nu­me­roa va­lit­ta­es­sa ei mah­dol­li­sia nu­me­roi­ta ole­kaan enää yhtä pal­jon kuin edel­li­ses­sä vai­hees­sa.

Ylei­nen ker­to­sään­tö:

Jos ta­pah­tu­mat A ja B ovat riip­pu­via, on ker­to­sään­tö muo­toa

P (en­sin A ja B sit­ten)= P (A) ∙ P (B, kun A on ta­pah­tu­nut).

Ta­pah­tu­man B to­den­nä­köi­syyt­tä las­ket­ta­es­sa ote­taan siis huo­mi­oon, että ta­pah­tu­ma A on jo sat­tu­nut.

Esimerkki 1

Kul­hos­sa on 4 pu­nais­ta ja 2 si­nis­tä kuu­laa. Kul­hos­ta nos­te­taan pe­räk­käin kak­si kuu­laa. Tut­ki­taan, mit­kä ovat eri mah­dol­li­suu­det ja mil­lä to­den­nä­köi­syyk­sil­lä ne ta­pah­tu­vat.

Klik­kaa kaa­vi­o­ta suu­ren­taak­se­si!

Puu­dia­gram­mi si­säl­tää kaik­ki eri mah­dol­li­suu­det. Las­ke­taan vie­lä tar­kis­tuk­sek­si kaik­kien mah­dol­li­suuk­sien to­den­nä­köi­syyk­sien sum­ma.

Esimerkki 2

Las­ke­taan mil­lä to­den­nä­köi­syy­del­lä lo­tos­sa saa­daan yh­del­lä ri­vil­lä 7 oi­kein.

Ole­te­taan, että yh­den ri­vin täyt­tä­mi­seen me­nee 10 se­kun­tia ja että muis­tam­me ai­em­min täyt­tä­mäm­me ri­vit. Täl­löin kaik­kien mah­dol­lis­ten lot­to­ri­vien te­ke­mi­seen ku­luu ai­kaa 153 809 370 se­kun­tia eli noin 5 vuot­ta.

Avoin ma­te­ma­tiik­kaTi­las­to­ja ja to­den­nä­köi­syyk­siä4.4.2013