Reaaliluvut

Lu­vut ovat ai­koi­naan tul­leet tar­pee­seen ku­va­ta esi­mer­kik­si saa­lis­e­läin­ten ja vi­hol­lis­ten mää­rää. Sel­lai­sia lu­ku­ja ku­ten 1, 5 ja 100 sa­no­taan po­si­tii­vi­sik­si koko­nais­lu­vuik­si. Nii­tä on käy­tet­ty sii­tä läh­tien kun ih­mi­nen oppi las­ke­maan.

Kes­ki­a­jal­la in­ti­a­lai­set loi­vat ne­ga­tii­vi­sen koko­nais­lu­vun kä­sit­teen voi­dak­seen kä­si­tel­lä kaup­pa­vel­ko­ja. Jos pai­me­nel­la oli vii­si lam­mas­ta ja hän oli vel­kaa kak­si lam­mas­ta, niin hä­nel­lä oli omia lam­pai­ta sil­loin kol­me. Mut­ta en­täs, jos hän oli­kin vel­kaa seit­se­män lam­mas­ta? –2 lam­mas­ta ei käy­tän­nös­sä tar­koi­ta mi­tään jär­ke­vää. Mut­ta voim­me tul­ki­ta tu­lok­sen si­ten, että pai­men luo­vut­taa vie­lä kak­si lam­mas­ta saa­tu­aan nii­tä li­sää. Vaik­ka ne­ga­tii­vi­sil­la lu­vuil­la on mah­dol­lis­ta ku­va­ta joi­ta­kin käy­tän­nön ti­lan­tei­ta ma­te­maat­ti­ses­ti, ei ne sil­ti sovi tu­lok­sek­si joka paik­kaan, mikä on joh­ta­nut it­seis­ar­von kä­sit­teen mää­rit­te­le­mi­seen.

Tut­tu esi­merk­ki ne­ga­tii­vis­ten lu­ku­jen käy­tös­tä on Cel­sius­läm­pö­mit­ta­rin as­teik­ko, jos­sa mii­nus­merk­kiä käy­te­tään 0˚C ma­ta­lam­pien läm­pö­ti­lo­jen esi­tyk­ses­sä. Läm­pö­tila-as­teik­ko ha­vain­nol­lis­taa hy­vin myös sitä, ett­ei ”nol­la” ja ”ei mi­tään” ole sy­no­nyy­me­ja. Usein ”nol­la” on vain mie­li­val­tai­ses­ti va­lit­tu koh­ta jol­la­kin as­tei­kol­la, ku­ten läm­pö­mit­ta­ris­sa, ja sitä pie­nem­mät ar­vot ovat ne­ga­tii­vi­sia. Ny­kyi­seen ta­paan nol­laa ryh­tyi­vät käyt­tä­mään vuo­den 600 eKr. paik­keil­la in­ti­a­lai­set ma­te­maa­ti­kot, jot­ka myös kek­si­vät sen las­ku­sään­nöt: nol­lal­la ker­to­mi­nen an­taa aina tu­lok­sek­si nol­lan eikä nol­lan li­sää­mi­nen tai vä­hen­tä­mi­nen muu­ta lu­kua. He to­te­si­vat myös, ett­ei nol­lal­la ja­ka­mi­nen anna jär­ke­vää tu­los­ta.

Koko­nais­lu­vut riit­tä­vät niin kau­an kuin on kyse luku­mää­rien las­ke­mi­ses­ta. Mut­ta eri­lai­set mit­taus­tu­lok­set näyt­tä­vät, ett­ei to­del­li­suus koos­tu koko­nais­lu­vuin il­mais­ta­vis­ta lu­vuis­ta. Esi­mer­kik­si ih­mi­set ei­vät ole ta­san yh­den tai kah­den met­rin pi­tui­sia, vaan jo­tain sil­tä vä­lil­tä. On­kin ole­mas­sa myös yk­si­köi­den puo­lik­kai­ta ja mui­ta osia. Näi­tä mur­to­lu­ku­na esi­tet­tä­viä lu­ku­ja sa­no­taan ra­ti­o­naa­li­lu­vuik­si. Sana “rationaali” tu­lee la­ti­nan sa­nas­ta ratio, joka tar­koit­taa osa­mää­rää. Myös jo­kai­nen päät­ty­vä tai päät­ty­mä­tön jak­sol­li­nen desi­maa­li­luku on ra­ti­o­naa­li­luku, kos­ka se voi­daan mer­ki­tä mur­to­luku­muo­dos­sa.

500-lu­vul­la eKr. kreik­ka­lai­set Py­tha­go­raan kou­lu­kun­nan ma­te­maa­ti­kot to­te­si­vat, että joi­den­kin ne­li­öi­den lä­vis­tä­jien pi­tuuk­sia ei voi­da il­moit­taa täs­mäl­li­ses­ti min­kään mur­to­lu­vun avul­la. Esi­merk­ki­nä edel­li­ses­tä on ne­liö, jon­ka si­vut ovat 1 met­rin mit­tai­sia. Vaik­ka aja­tel­tai­siin kuin­ka pien­tä mit­ta­yk­sik­köä ta­han­sa, lä­vis­tä­jän pi­tuu­den tark­ka il­moit­ta­mi­nen oli­si mah­do­ton­ta. Lu­ku­jen jouk­koa oli laa­jen­net­ta­va ot­ta­mal­la käyt­töön uu­sia päät­ty­mät­tö­miä desi­maa­li­lu­ku­ja, joi­ta ny­ky­ään kut­su­taan ir­ra­ti­o­naa­li­lu­vuik­si (esi­mer­kik­si √2 ja π). Ir­ra­ti­o­naa­li­lu­ku­ja ei siis voi ku­va­ta tar­kas­ti muu­ten kuin sym­bo­lin avul­la.

Kreik­ka­lai­nen ma­te­maa­tik­ko Arkhimedes (287-212 eKr.) oli en­sim­mäi­nen, joka ha­vait­si lu­ku­ja ole­van lo­put­to­mas­ti ja kuin­ka suu­ria ta­han­sa. Hän oi­val­si, ett­ei luku­jär­jes­tel­mäs­säm­me ole ylä­ra­jaa. Ää­ret­tö­myys (∞) ei ole luku ku­ten nol­la. Aja­tel­laan­pa sit­ten kuin­ka suur­ta lu­kua ta­han­sa, jo­kai­sel­le voi­daan aina il­moit­taa vie­lä suu­rem­pi luku. Ää­ret­tö­myys ei siis ole kos­kaan saa­vu­tet­ta­vis­sa.