1. Harpin käytön kertausta

Janan keskinormaalin piirtäminen

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

1. Piir­re­tään ja­nan pää­te­pis­teet A ja B kes­ki­pis­tei­nä sel­lai­set sa­man­sä­tei­set ym­py­rän kaa­ret, jot­ka leik­kaa­vat toi­sen­sa.
2. Piir­re­tään suo­ra, joka kul­kee ym­py­rän­kaa­rien leik­kaus­pis­tei­den kaut­ta. Tämä suo­ra on ja­nan AB kes­ki­nor­maa­li

Kul­man puo­lit­ta­jan piir­tä­mi­nen

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

1. Kul­man kär­ki kes­ki­pis­tee­nä piir­re­tään ym­py­rän­kaa­ri, joka leik­kaa kul­man mo­lem­mat kyl­jet.
2. Leik­kaus­pis­teet A ja B kes­ki­pis­tei­nä piir­re­tään sel­lai­set sa­man­sä­tei­set ym­py­rän­kaa­ret, että ne leik­kaa­vat toi­sen­sa kul­man au­ke­a­mas­sa.
3. Ym­py­rän­kaa­rien leik­kaus­pis­te yh­dis­te­tään kul­man kär­ki­pis­tee­seen. Tämä puo­li­suo­ra on kul­man puo­lit­ta­ja.

Kor­keus­jana, me­di­aa­ni, kul­man puo­lit­ta­ja ja si­vun kes­ki­nor­maa­li ovat kol­mi­oon liit­ty­viä ja­no­ja ja suo­ria. Niil­lä jo­kai­sel­la on yl­lät­tä­vä omi­nai­suus.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Kol­man­nes­ta mer­kil­li­ses­tä pis­tees­tä seu­raa, että jo­kai­sen kol­mi­on si­sään voi­daan piir­tää ym­py­rä si­ten, että se si­vu­aa jo­kais­ta kol­mi­on si­vua. Kol­mi­on kul­mien puo­lit­ta­jien leik­kaus­pis­te on kol­mi­on si­sään piir­re­tyn ym­py­rän kes­ki­pis­te.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Nel­jän­nes­tä mer­kil­li­ses­tä pis­tees­tä seu­raa, että jo­kai­sen kol­mi­on ym­pä­ri voi­daan piir­tää ym­py­rä si­ten, että jo­kai­nen kol­mi­on kär­jis­tä si­jait­see ym­py­rän ke­häl­lä. Kol­mi­on kes­ki­nor­maa­lien leik­kaus­pis­te on kol­mi­on ym­pä­ri piir­re­tyn ym­py­rän kes­ki­pis­te.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 1.

Asun­to-osa­ke­yh­ti­ös­sä on kol­me ta­loa, jot­ka omis­ta­vat pi­han yh­des­sä. Pi­hal­le ra­ken­ne­taan yh­tei­nen gril­li­ka­tos. Mi­hin se pi­täi­si si­joit­taa, jot­ta jo­kai­sel­ta ta­lol­ta oli­si sin­ne yhtä pit­kä mat­ka? Piir­rä kuva, jos­sa il­me­nee paik­ka, kun ta­lo­jen vä­li­set etäi­syy­det ovat 48 m, 60 m ja 80 m.

Ratkaisu:

Mer­ki­tään piir­rok­ses­sa ta­lo­ja kir­jai­mil­la A, B ja C. Piir­re­tään aluk­si jana AB, jon­ka ku­vaa pi­tuut­ta 80 m. Ta­lon C si­jain­ti mää­ri­te­tään har­pin avul­la käyt­tä­en pis­tei­tä A ja B ym­py­rä­kaa­rien kes­ki­pis­tei­nä, jon­ka sä­tei­den pi­tuu­det ovat 60 m ja 48 m.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Jot­ta gril­li­paik­ka oli­si yhtä kau­ka­na ta­lois­ta A ja B on sen ol­ta­va ja­nan AB kes­ki­nor­maa­lil­la. Vas­taa­vas­ti, jot­ta se oli­si yhtä kau­ka­na ta­lois­ta B ja C, on gril­li­ka­tok­sen si­jait­ta­va ja­nan BC kes­ki­nor­maa­lil­la. Kes­ki­nor­maa­lien leik­kaus­pis­tees­tä löy­tyy paik­ka, joka on yhtä kau­ka­na kai­kis­ta ta­lois­ta.

Huom! Vas­tauk­sen voi tar­kis­taa piir­tä­mäl­lä kes­ki­nor­maa­lin myös ja­nal­le AC. Jot­ta vas­taus oli­si oi­kein, tu­lee ja­nan AC kes­ki­nor­maa­lin lei­ka­ta mui­den si­vu­jen kes­ki­nor­maa­lit sa­mas­sa pis­tees­sä.