Mitä on trigonometria?

Tri­go­no­met­ria sana muo­dos­tuu krei­kan kie­len sa­nois­ta tri ”kol­me”, gono ”kul­ma” ja metria ”mi­ta­ta”. Tri­go­no­met­ria pe­rus­tuu suo­ra­kul­mais­ten kol­mi­oi­den tut­ki­mi­seen. Sii­nä tar­kas­tel­laan kol­mi­on kul­mien ja si­vu­jen vä­li­siä suh­tei­ta. Pe­rus­ta­na on se ge­o­met­ri­nen tosi­asia, että suo­ra­kul­mai­ses­sa kol­mi­os­sa si­vu­jen pi­tuuk­sien suh­teet ovat riip­pu­vai­sia vain kul­mien suu­ruuk­sis­ta. Tär­keim­mät näis­tä kul­man mää­rää­mis­tä suh­de­lu­vuis­ta ovat sini, ko­si­ni ja tan­gent­ti. Luku­ar­vo­jen las­ke­mi­nen on vai­val­lois­ta, mut­ta ne saa­daan val­mii­na tau­lu­kois­ta tai las­ki­mel­la.

Tri­go­no­met­ria ke­hit­tyi täh­tien tut­ki­mi­ses­ta. Tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den avul­la on rat­kais­tu mo­nen­lai­sia ge­o­met­ri­sia on­gel­mia jo yli 2 000 vuot­ta. Käy­tän­nön tar­pei­ta pal­ve­le­via trigonometrisiä tau­lu­koi­ta laa­ti­vat egyp­ti­läi­set ja in­ti­a­lai­set jo var­hain, mut­ta ne suh­teet, joi­ta me käy­täm­me ny­ky­ään, esit­ti Hipparkhos noin 150 eKr.

Tri­go­no­met­ri­al­la on käyt­töä tek­nii­kas­sa, ark­ki­teh­tuu­ris­sa, me­ren­ku­lus­sa ja mo­nil­la muil­la käy­tän­nön aloil­la. Tri­go­no­met­ri­an avul­la on mah­dol­lis­ta suo­rit­taa mit­tauk­sia, jot­ka muu­toin oli­si­vat hy­vin han­ka­lia. Täl­lai­sia ovat esi­mer­kik­si vai­ke­a­kul­kui­ses­sa maas­tos­sa tai me­rel­lä ole­vien koh­tei­den vä­lis­ten etäi­syyk­sien mit­taa­mi­nen. Myös il­mas­sa ja ava­ruu­des­sa ole­viin kap­pa­lei­siin liit­ty­viä teh­tä­viä voi­daan rat­koa tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den avul­la.

Tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den avul­la voi­daan kol­mi­on tun­ne­tuis­ta osis­ta hel­pos­ti las­kea mui­den osien mi­tat. Mut­kik­kaam­mat ku­vi­ot las­ke­taan ja­ka­mal­la ne en­sik­si so­pi­vik­si kol­mi­oik­si, mikä so­vel­tuu myös ava­ruus­ku­vi­oi­hin. Kol­mi­o­mit­taus poh­jau­tuu sii­hen, että kun tun­ne­taan kol­mi­on kul­mat (joi­den sum­ma on aina 180˚) ja yh­den si­vun pi­tuus, voi­daan las­kea mui­den si­vu­jen pi­tuu­det. Kul­mat mää­ri­te­tään käy­tän­nös­sä täh­tää­mäl­lä kau­ko­put­ken kal­tai­sel­la lait­teel­la vuo­ro­tel­len eri pis­tei­siin ja kat­so­mal­la kau­ko­put­ken ja­lus­tan as­teik­ko­le­vys­tä kään­ty­mis­kul­mat.

Tri­go­no­met­ri­set suh­teet ovat osoit­tau­tu­neet mo­nel­la ta­voin tär­keik­si ma­te­maat­ti­sik­si funk­ti­oik­si. Ne ovat kes­kei­ses­sä ase­mas­sa myös var­sin abst­rak­teis­sa te­o­ri­ois­sa, mm. säh­kö­tek­nii­kas­sa, sä­tei­ly­fy­sii­kas­sa ja in­for­maa­ti­o­te­o­ri­as­sa. Täl­löin funk­ti­oi­den kä­si­tet­tä on laa­jen­net­tu kos­ke­maan suu­rem­pi­a­kin kul­mia kuin kol­mi­os­sa voi esiin­tyä esim. pää­te­pis­teis­sä ym­pä­ri kään­ty­vää sä­det­tä.

Tri­go­no­met­ris­ten funk­ti­oi­den omi­nai­suu­det pe­rus­tu­vat ge­o­met­ri­siin tar­kas­te­lui­hin, mut­ta ne ovat tär­kei­tä vä­räh­te­le­vien il­mi­öi­den te­o­reet­ti­ses­sa tut­ki­muk­sis­sa. Jos tar­kas­tel­laan sini­funk­ti­on ar­vo­ja myös te­rä­vää kul­maa suu­rem­mil­la kul­mil­la aina oiko­kul­maan asti ha­vai­taan, että si­nin luku­arvo vaih­te­lee lu­ku­jen -1 ja 1 vä­lil­lä. Ky­sees­sä on jak­sol­li­nen funk­tio, joka te­kee aina yh­den täy­del­li­sen hei­lah­duk­sen 360 as­teen mat­kal­la. Sini­funk­tio ku­vaa kaik­kia yk­sin­ker­tai­sia hei­lah­te­lu­ja, vä­räh­te­ly­jä ja aal­to­liik­kei­tä. Esi­merk­kei­nä ovat me­kaa­ni­set vä­räh­te­lyt, ääni­aal­lot, niin ra­di­o­aal­lot kuin va­lon sä­tei­ly­kin, sekä ta­val­li­nen vaih­to­vir­ta. Mut­kik­kaam­mat vä­räh­te­lyt voi­daan aina aja­tel­la ja ma­te­maat­ti­ses­ti kä­si­tel­lä yk­sin­ker­tai­sis­ta sini­muo­toi­sis­ta vä­räh­te­lyis­tä koos­tu­vi­na. Aal­to­lii­ke ete­nee yleen­sä si­ten, ett­ei­vät sa­man­ai­kai­set, taa­juu­del­taan eri­lai­set vä­räh­te­lyt häi­rit­se toi­si­aan. Mu­sii­kin­kuun­te­lus­sa ei oli­si pal­jon miel­tä, jos emme pys­tyi­si erot­ta­maan sa­man­ai­kai­ses­ti eri ää­nen­kor­keuk­sia, vaik­ka ne il­mas­sa ete­ne­vät yh­ty­nei­nä ja esi­mer­kik­si ääni­le­vys­sä ovat yh­te­nä ai­no­a­na ura­na.