6. Trigonometriset pinta-alan kaavat*

Trigonometrisiä funk­ti­oi­ta voi­daan hyö­dyn­tää myös taso­ku­vi­oi­den pin­ta-alo­ja las­ket­ta­es­sa, jos ku­vi­ot voi­daan ja­kaa suo­ra­kul­mai­sis­ta kol­mi­ois­ta muo­dos­tu­viin osiin.

Esimerkki 1.

Joh­de­taan kaa­va, jol­la voi­daan las­kea kol­mi­on pin­ta-ala, kun tun­ne­taan kol­mi­on kah­den si­vun pi­tuus a ja b sekä näi­den vä­li­sen kul­man suu­ruus α.

Kol­mi­on kor­keus saa­daan sel­vil­le si­nin avul­la:

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Kun h si­joi­te­taan nor­maa­liin kol­mi­on pin­ta-alan yh­tä­löön, muo­dos­tuu pin­ta-alan yh­tä­lö, jos­sa kor­keut­ta ei tar­vit­se erik­seen rat­kais­ta.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Huom! Kaa­va pä­tee myös sil­loin, kun kul­ma α on tylp­pä.

Vas­taa­vat pin­ta-alan tri­go­no­met­ri­set kaa­vat voi­daan joh­taa myös suun­nik­kaal­le ja puo­li­suun­nik­kaal­le:

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 1.

Las­ke­taan vie­rei­sen kol­mi­on pin­ta-ala.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: Kol­mi­on pin­ta-ala on 16 cm².

Esimerkki 2.

Kol­mi­on si­vu­jen pi­tuu­det ovat 6,2 cm ja 8,5 cm. Kuin­ka suu­ri on si­vu­jen vä­li­nen kul­ma, kun kol­mi­on pin­ta-ala on 24,8 cm²?

Ratkaisu:

Mää­ri­te­tään en­sin si­vu­jen vä­li­sen kul­man sini:

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Las­ki­mel­la saa­daan yh­tä­lön to­teut­ta­va te­rä­vä kul­ma. Yh­tä­löl­lä on kui­ten­kin myös toi­nen rat­kai­su, joka on 180° − 70,3° = 109,7°.

Las­ki­mel­la voi­daan vie­lä tar­kis­taa, että 180° − 70,3° = 109,7°.

Vas­taus: Kul­ma on 70,3° tai 109,7°.

Ylei­ses­ti pä­tee seu­raa­va sään­tö: