11. Kartion tilavuus

Ym­py­rä­kar­ti­on ti­la­vuut­ta ei saa­da las­ket­tua täyt­tä­mäl­lä sitä poh­jan kans­sa yh­te­ne­vil­lä pa­loil­la. Täl­löin­hän las­ket­tai­siin ym­py­rä­lie­ri­ön ti­la­vuut­ta.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ym­py­rä­kar­ti­on ti­la­vuus sitä vas­toin saa­daan täyt­tä­mäl­lä se poh­jan kans­sa yh­den­muo­toi­sil­la pa­loil­la, jot­ka pie­ne­ne­vät kar­ti­on kär­keä koh­ti men­tä­es­sä. Kos­ka yh­den­muo­tois­ten kap­pa­lei­den vä­lil­lä val­lit­see suh­de, voim­me olet­taa kar­ti­on ti­la­vuu­den saa­ta­van seu­raa­vas­ti:

kar­ti­on ti­la­vuus = jo­kin suh­de­luku · vas­taa­van lie­ri­ön ti­la­vuus.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Riip­pu­mat­ta kar­ti­on poh­jan muo­dos­ta las­ke­taan sen ti­la­vuus aina sa­mal­la ta­val­la. Poh­jan muo­to tu­lee huo­mi­oi­tua sen pin­ta-alan kaa­vas­sa.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 1.

Las­ke­taan jää­te­lö­tuu­tin ti­la­vuus.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Jää­te­lö­tuut­ti on muo­dol­taan ym­py­rä­kar­tio, jon­ka poh­jan pin­ta-ala las­ke­taan sä­teen r avul­la seu­raa­vas­ti A_p = πr². Kar­ti­on ti­la­vuu­den las­ku­kaa­va tu­lee si­ten muo­toon

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: Tuu­tin ti­la­vuus on noin 1,4 dl.

Esimerkki 2.

Kheopsin py­ra­mi­di oli alun­pe­rin 147 m kor­kea ja sen poh­ja­sär­män pi­tuus oli 230 m. Las­ke­taan py­ra­mi­din ti­la­vuus.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Py­ra­mi­di on kar­ti­on eri­kois­ta­paus ja sen ti­la­vuus saa­daan sa­mo­jen las­ku­sään­tö­jen mu­kai­ses­ti. Py­ra­mi­din poh­ja muo­dos­tuu ne­li­ös­tä, jon­ka pin­ta-ala saa­daan ne­li­ön sär­män s avul­la seu­raa­vas­ti A_p = s². Py­ra­mi­din ti­la­vuus on

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: Kheopsin py­ra­mi­din ti­la­vuus oli alun­pe­rin 2,6 · 10⁶ m³.