13. Monitahokkaat

Moni­ta­hok­kaat ovat au­kot­to­mia kap­pa­lei­ta, jot­ka muo­dos­tu­vat moni­kul­mi­ois­ta.

Moni­kul­mi­oi­ta sa­no­taan moni­ta­hok­kaan tah­koik­si. Sään­nöl­li­sen moni­ta­hok­kaan raja­pin­toi­na voi olla myös usei­ta eri­lai­sia sään­nöl­li­siä moni­kul­mi­oi­ta. Ns. Arkhimedeen kap­pa­leis­sa ylä- ja ala­pin­ta­na on jo­kin sään­nöl­li­nen moni­kul­mio ja si­vut muo­dos­tu­vat ne­li­öis­tä. Jos yk­sin­ker­tai­set sär­mi­öt jä­te­tään pois las­kuis­ta, on eri­lai­sia Arkhimedeen kap­pa­lei­ta 13.

Kaik­kien moni­ta­hok­kai­den kär­kien k, tah­ko­jen t ja sär­mien s luku­mää­rien vä­lil­lä pä­tee Eu­le­rin kaa­va

k + t = s + 2.

Pla­to­nin kap­pa­leet ovat sään­nöl­li­siä moni­ta­hok­kai­ta, joi­den kaik­ki sivu­tah­kot ovat yh­te­ne­viä sään­nöl­li­siä moni­kul­mi­oi­ta.

Pla­to­nin kap­pa­lei­ta on ole­mas­sa ai­no­as­taan vii­si. Tun­ne­tuin näis­tä on ne­li­öis­tä muo­dos­tu­va kuu­tio eli heksaedri. Kol­mi­ois­ta muo­dos­tu­vat Pla­to­nin kap­pa­leet ovat tetraedri (4-ta­ho­kas), oktaedri (8-ta­ho­kas) ja Ikosaedri (20-ta­ho­kas).

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Dodekaedri (12-ta­ho­kas) muo­dos­tuu vii­si­kul­mi­ois­ta.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Jos sään­nöl­lis­ten moni­ta­hok­kai­den sär­mä on a, saa­daan kap­pa­lei­den pin­ta-alat ja ti­la­vuu­det las­ke­tuk­si ohei­sen tau­lu­kon kaa­voil­la.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Esimerkki 1.

Maus­te­seos on pa­kat­tu tetraedrin muo­toi­seen pak­kauk­seen, jon­ka sär­män pi­tuus on 3,8 cm. Las­ke­taan pak­kauk­sen

a) Pin­ta-ala

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

b) ti­la­vuus

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: Pak­kauk­sen pin­ta-ala on 25 cm2 ja ti­la­vuus on 6,5 cm3.

Avoin ma­te­ma­tiik­ka 9Osio 2: Tri­go­no­met­ri­aa ja ge­o­met­ri­an tie­to­jen sy­ven­tä­mis­tä5.6.2014