15. Yhdenmuotoisten kappaleiden pinta-alat ja tilavuudet

Kol­me ne­li­ö­tä on muo­dos­tet­tu yh­den­muo­toi­sis­ta ku­vi­ois­ta. Si­vu­jen pi­tuuk­sien suh­de on 1 : 2 : 3 ja pin­ta-alo­jen suh­de 1 : 4 : 9.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Pi­tuuk­sien ja pin­ta-alo­jen suh­tei­den vä­lil­lä on yh­teys. Pin­ta-alo­jen suh­teet voi­daan kir­joit­taa pi­tuuk­sien suh­tei­den avul­la seu­raa­vas­ti: 1² : 2² : 3².

Yh­den­muo­toi­suus ava­ruu­des­sa mää­ri­tel­lään vas­taa­vas­ti kuin ta­sos­sa: kak­si kap­pa­let­ta ovat yh­den­muo­toi­sia, jos nii­den vas­tin­ja­nat ovat ver­ran­nol­li­set. Kol­me kuu­ti­o­ta on muo­dos­tet­tu yh­den­muo­toi­sis­ta kap­pa­leis­ta. Sär­mien pi­tuuk­sien suh­de on 1 : 2 : 3 ja ti­la­vuuk­sien suh­de 1 : 8 : 27.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Pi­tuuk­sien ja ti­la­vuuk­sien suh­tei­den vä­lil­lä on myös sel­vä yh­teys. Ti­la­vuuk­sien suh­teet voi­daan kir­joit­taa pi­tuuk­sien suh­tei­den avul­la seu­raa­vas­ti: 1³ : 2³ : 3³.

Sään­nöl­li­set moni­ta­hok­kaat ovat kes­ke­nään yh­den­muo­toi­sia: kaik­ki tetraedrit ovat kes­ke­nään yh­den­muo­toi­sia, kaik­ki kuu­ti­ot ovat kes­ke­nään yh­den­muo­toi­sia jne.

Esimerkki 1.

Lie­ri­öt A ja B ovat yh­den­muo­toi­sia. Lie­ri­ön A pin­ta-ala on 15700 mm² ja ti­la­vuus 145000 mm³. Las­ke lie­ri­ön A tie­to­ja hy­väk­si käyt­tä­en lie­ri­ön B

a) kor­keus

b) pin­ta-ala

c) ti­la­vuus.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ratkaisu:

a) Yh­den­muo­tois­ten kap­pa­lei­den pi­tuuk­sien suh­de on va­kio.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

jos­ta ris­tiin ker­to­mal­la ja sie­ven­tä­mäl­lä saa­daan x = 100 mm.

b) Yh­den­muo­tois­ten kap­pa­lei­den pin­ta-alo­jen suh­de on yhtä suu­ri kuin pi­tuuk­sien suh­tei­den ne­liö.

Va­li­taan tar­kas­te­lu­pi­tuuk­sik­si lie­ri­öi­den hal­kai­si­jat.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ylei­siä po­tens­si­sään­tö­jä so­vel­ta­en saa­daan yh­tä­lö muo­toon

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ris­tiin ker­to­mal­la ja yh­tä­lön rat­kai­su­sään­tö­jä so­vel­ta­mal­la saa­daan  x = 24500 mm².

c) Yh­den­muo­tois­ten kap­pa­lei­den ti­la­vuuk­sien suh­de on yhtä suu­ri kuin pi­tuuk­sien suh­tei­den kuu­tio.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Rat­kai­suk­si saa­daan x = 283000 mm³.

Vas­taus: Lie­ri­ön B kor­keus on 100 mm, pin­ta-ala 245 cm² ja ti­la­vuus 283 cm³.

Esimerkki 2.

Ku­van suo­ra­kul­mai­set sär­mi­öt ovat yh­den­muo­toi­sia ja suu­rem­man sär­mi­ön ti­la­vuus on 36 cm³. Mikä on pie­nem­män sär­mi­ön ti­la­vuus?

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Ratkaisu:

Yh­den­muo­tois­ten kap­pa­lei­den ti­la­vuuk­sien suh­de on yhtä suu­ri kuin pi­tuuk­sien suh­tei­den kuu­tio. Ol­koon pie­nem­män sär­mi­ön ti­la­vuus x.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Vas­taus: Pie­nem­män sär­mi­ön ti­la­vuus on 4,5 cm³.