18. Geometrian todistuksia*

Onko kol­mi­on kul­mien sum­ma to­del­la 180˚? Voi­sim­me piir­tää jou­kon eri­lai­sia kol­mi­o­ta ja mi­ta­ta kun­kin kol­mi­on kul­mat erik­seen ja las­kea ne yh­teen. Kol­mi­on kul­mien sum­mak­si tu­li­si ehkä jo­tain 178 as­teen ja 182 as­teen vä­lil­tä. Voi­sim­me olet­taa väit­teen pi­tä­vän aika hy­vin paik­kaan­sa. Ma­te­ma­tii­kas­sa täl­lai­nen toi­min­ta ei ole väit­teen to­dis­ta­mis­ta vaan pi­kem­min­kin liki­mää­räis­tä ar­vi­oin­tia sii­tä, voi­si­ko väi­te edes pi­tää paik­kaan­sa.

Väi­te pi­tää to­dis­taa oi­ke­ak­si si­ten, että se pi­tää paik­kan­sa mil­lä ta­han­sa luku­ar­voil­la eli to­dis­tuk­sen on ol­ta­va yleis­pä­te­vä. Ma­te­ma­tii­kas­sa tär­ke­ät to­dis­te­tut fak­tat kir­ja­taan lau­seik­si. Lau­sei­den to­dis­tuk­set pe­rus­tu­vat ai­em­piin to­dis­tuk­siin, joi­den poh­ja­na on il­man to­dis­ta­mis­ta hy­väk­sy­tyt pe­rus­tie­dot, joi­ta sa­no­taan ak­si­oo­mik­si. To­dis­tus­teh­tä­väs­sä on yleen­sä kol­me osaa: ole­tus, väi­te ja to­dis­tus.

Esimerkki 1.

To­dis­te­taan, että kol­mi­on kul­mien sum­ma on 180°.

Ole­tus: Kol­mi­on ABC kul­mien suu­ruu­det α, β ja γ.

Väi­te: Kol­mi­on kul­mien sum­ma on 180°.

Todistus:

Piir­re­tään aluk­si kol­mio ABC ja mer­ki­tään sen kul­mia muut­tu­jil­la α, β ja γ. Kos­ka to­dis­tuk­sen pi­tää olla yleis­pä­te­vä, ei voi­da va­li­ta joi­tain tiet­ty­jä luku­ar­vo­ja kul­mil­le.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

To­dis­ta­mi­sen ide­a­na on hyö­dyn­tää ai­kai­sem­pia ylei­siä tie­to­ja kul­mis­ta. Piir­re­tään kan­ta­si­vun BC kans­sa yh­den­suun­tai­nen suo­ra, joka kul­kee pis­teen A kaut­ta. Piir­re­tään li­säk­si si­vu­jen BA ja CA jat­keet.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Kul­ma, joka muo­dos­tuu kul­mis­ta α, β ja γ, on oiko­kul­ma, jol­loin väis­tä­mät­tä α + β + γ = 180°. Väi­te on siis tosi.

Esimerkki 2.

To­dis­te­taan Py­tha­go­raan lau­se oi­ke­ak­si.

Ole­tus: Suo­ra­kul­mai­sen kol­mi­on ka­teet­tien pi­tuu­det ovat a ja b ja hy­po­te­nuu­san pi­tuus on c.

Väi­te: a² + b² = c²

Todistus

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Suu­rem­man ne­li­ön pin­ta-ala on

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Toi­saal­ta suu­rem­man ne­li­ön pin­ta-ala saa­daan las­ke­mal­la yh­teen pie­nem­män ne­li­ön pin­ta-ala ja nel­jän kol­mi­on pin­ta-alat.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Edel­lis­ten pin­ta-alo­jen lau­sek­kei­den on ol­ta­va yhtä suu­ret.

Klik­kaa kuva suu­rem­mak­si!

Väi­te on siis tosi.